Новационные методы анализа стохастических процессов и структур в оптике. Фрактальные и мультифрактальные методы, вейвлет-преобразования. Короленко П.В - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Глава 3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МУЛЬТИФРАКТАЛЬНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
56
условием . Определим теперь обобщенную статистическую
сумму следующим образом:
ll
i
≤
{}()
∑
=
τ
=τΓ
M
i
i
q
i
i
l
p
lSq
1
,,, . (3.3.9)
Справедливо утверждение, согласно которому при достаточно
большом
величина M
Γ
будет порядка единицы, только если
будет выполнено условие
(
)
(
)
q
Dqq 1
−
=
τ
=
τ
. (3.3.10)
Обратим внимание на то, что соотношение (3.1.6) является
частным вариантом данного подхода, когда все
одинаковы и
равны
.
i
l
ε
Рассмотрим случай, когда к нашему множеству применима так
называемая рекурсионная процедура разбиения. Она заключается
в следующем. Пусть вначале мы имеем множество с мерой
и
размером
1 (например, отрезок единичной длины). Разделим это
множество на куски
(
1
i
S 1
=
i
, ,… )
с мерами и
размерами
2 m
i
p
1
<
i
l
. На этом первом шаге запишем функцию
в виде
Γ
()
∑
=
τ
=τΓ
m
i
i
q
i
l
p
q
1
1
, . (3.3.11)
На втором шаге каждый из этих кусков, в свою очередь,
делится на
кусочков с мерами, уменьшенными на
множители
, и размерами, уменьшенными на множители
( , ,… ). В результате мы получим уже
кусочков. Функция
m
m
j
p
j
l 1=j 2 m
2
m
Γ
на этом шаге, очевидно, равна
(
)
(
)
[
]
2
12
,, τΓ=τΓ qq .
(3.3.12)
На
шаге по индукции получаем кусочков и
n
n
m
(
)
(
)
[
]
n
n
qq τΓ=τΓ ,,
1
.
В пределе достаточно большого числа таких
последовательных разбиений наша статистическая сумма
будет стремиться либо к нулю, либо к бесконечности. И лишь
n
Глава 3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МУЛЬТИФРАКТАЛЬНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ

условием l i ≤ l . Определим теперь обобщенную статистическую
сумму следующим образом:
                                                 M
                                                      piq
                          Γ(q, τ,{Si }, l ) = ∑          τ
                                                           .    (3.3.9)
                                                 i =1 l i

   Справедливо утверждение, согласно которому при достаточно
большом M величина Γ будет порядка единицы, только если
будет выполнено условие
                           τ = τ(q ) = (q − 1)Dq .             (3.3.10)
   Обратим внимание на то, что соотношение (3.1.6) является
частным вариантом данного подхода, когда все l i одинаковы и
равны ε .
   Рассмотрим случай, когда к нашему множеству применима так
называемая рекурсионная процедура разбиения. Она заключается
в следующем. Пусть вначале мы имеем множество с мерой 1 и
размером 1 (например, отрезок единичной длины). Разделим это
множество на куски Si ( i = 1 , 2 ,… m ) с мерами pi и
размерами l i < 1 . На этом первом шаге запишем функцию
Γ в виде
                                          m
                                                 piq
                             Γ1 (q, τ ) = ∑           .        (3.3.11)
                                          i =1   l iτ
  На втором шаге каждый из этих m кусков, в свою очередь,
делится на m кусочков с мерами, уменьшенными на
множители p j , и размерами, уменьшенными на множители
lj   ( j = 1,   2 ,…   m ). В результате мы получим уже m 2
кусочков. Функция Γ на этом шаге, очевидно, равна
                           Γ2 (q, τ ) = [Γ1 (q, τ )] .
                                                      2
                                                               (3.3.12)
     На n шаге по индукции получаем m n кусочков и
                           Γn (q, τ ) = [Γ1 (q, τ )] .
                                                      n


В   пределе    достаточно   большого     числа   n    таких
последовательных разбиений наша статистическая сумма
будет стремиться либо к нулю, либо к бесконечности. И лишь

56

Страницы