Новационные методы анализа стохастических процессов и структур в оптике. Фрактальные и мультифрактальные методы, вейвлет-преобразования. Короленко П.В - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

3.3. Иные версии мультифрактального формализма
57
в одном случае она будет порядка единицы. Это произойдет,
если
(
)
1,
1
=
τ
Γ
q . (3.3.13)
Это и есть уравнение для функции
(
)
q
τ
. Используемая для
определения зависимости
(
)
q
τ
функция
(
)
τ
Γ
,
1
q
называется
генератором для такого мультипликативного процесса
разбиения множества.
В качестве иллюстрации возможностей рассмотренного
формализма применим его для анализа мультифрактальной
структуры неоднородного канторовского множества,
неоднородность которого в отличие от ранее рассмотренного
проявляется не в различии вероятностных мер
(они
считаются одинаковыми), а в различии длин элементов,
образующихся на каждом шаге построения.
i
p
На нулевом шаге построения такого множества возьмем
отрезок единичной длины. На первом шаге заменим его двумя
отрезками с длинами
25,0
1
=
l и 5,0
2
=
l , примыкающими
соответственно к его левому и правому концам. Обоим
отрезкам припишем одинаковую меру
21
=
p . Затем
повторим ту же процедуру с каждым из этих двух отрезков.
В результате получится уже
отрезка с длинами , ,
и и одинаковыми мерами, равными
4
2
1
l
21
ll
12
ll
2
2
l 41 . Продолжая этот
процесс до бесконечности, мы получим в конце концов
неоднородное канторовское множество с двумя характерными
масштабами длины, т.е. мультифрактал. Первые шаги процесса
его построения изображены ниже на
рис. 3.4.
В нашем конкретном примере канторовского множества,
изображенного на рис. 3.4, величина
2
=
m
, и генератор
равен
()
ττ
+=τΓ
2
2
1
1
1
,
l
p
l
p
q
qq
. (3.3.14)
Подставляя сюда
21
21
=
=
pp
,
41
1
=l
и
21
2
=
l
, получаем
уравнение для
τ
q
242
=
+
ττ
. (3.3.15) 
                         3.3. Иные версии мультифрактального формализма

в одном случае она будет порядка единицы. Это произойдет,
если
                             Γ1 (q, τ ) = 1 .                 (3.3.13)
   Это и есть уравнение для функции τ(q ) . Используемая для
определения зависимости τ(q ) функция Γ1 (q, τ ) называется
генератором для такого мультипликативного процесса
разбиения множества.
   В качестве иллюстрации возможностей рассмотренного
формализма применим его для анализа мультифрактальной
структуры     неоднородного    канторовского        множества,
неоднородность которого в отличие от ранее рассмотренного
проявляется не в различии вероятностных мер pi (они
считаются одинаковыми), а в различии длин элементов,
образующихся на каждом шаге построения.
   На нулевом шаге построения такого множества возьмем
отрезок единичной длины. На первом шаге заменим его двумя
отрезками с длинами l1 = 0,25 и l 2 = 0,5 , примыкающими
соответственно к его левому и правому концам. Обоим
отрезкам припишем одинаковую меру             p = 1 2 . Затем
повторим ту же процедуру с каждым из этих двух отрезков.
В результате получится уже 4 отрезка с длинами l 12 , l1l 2 ,
l 2 l1 и l 22 и одинаковыми мерами, равными 1 4 . Продолжая этот
процесс до бесконечности, мы получим в конце концов
неоднородное канторовское множество с двумя характерными
масштабами длины, т.е. мультифрактал. Первые шаги процесса
его построения изображены ниже на рис. 3.4.
      В нашем конкретном примере канторовского множества,
изображенного на рис. 3.4, величина m = 2 , и генератор
равен
                                       p1q p2q
                        Γ1 (q, τ ) =       + τ .              (3.3.14)
                                       l1τ   l2
Подставляя сюда p1 = p2 = 1 2 , l1 = 1 4 и l 2 = 1 2 , получаем
уравнение для τ
                            2 τ + 4 τ = 2q .                  (3.3.15)
                                                                    57

Страницы