Новационные методы анализа стохастических процессов и структур в оптике. Фрактальные и мультифрактальные методы, вейвлет-преобразования. Короленко П.В - 61 стр.

                              3.4. Мультифрактальная параметризация сигналов

   При расчете спектра сингулярностей для конкретного сигнала
следует учитывать одно важное обстоятельство. Изложенный
выше метод определения f (α ) не может быть без корректировки
перенесен на определение функции D(h ) . Это связано с тем, что
нахождение скейлинговой экспоненты τ(q ) на основе выражения
(3.1.6) невозможно, поскольку сумма изменений сигнала ∆X i на
выделенных бинах будет зависеть от размеров бинов и не будет
равна полному изменению сигнала в области его определения. В
следующей главе будет показано, что существует возможность
оценки τ(q ) на основе обобщенной статистической суммы,
построенной     с    помощью     коэффициентов      вейвлет-
преобразования сигнала. Здесь же мы рассмотрим упрощенный
способ мультифрактального анализа сигнала.
   Он основан на оценке скейлинговых свойств обобщенной
структурной функции вида

                     [
            Sn,q = E X k + n − X k
                                     q
                                         ] = K 1− n ∑ X
                                                    K −n


                                                    k =1
                                                           k +n   − Xk
                                                                         q
                                                                             ,       (3.4.4)

где q – любое положительное число. При                                           проведении
мультифрактального анализа используется                                          следующее
соотношение:
                               Sn,q ~ n τ(q )+1 ,                                    (3.4.5)
являющееся       обобщением     выражения      (2.2.5)   на
мультифрактальные сигналы. Если сигнал, подчиняется модели
обобщенного броуновского движения, то входящая в формулу (5)
скейлинговая экспонента
                               τ(q ) = Hq − 1,                                       (3.4.6)
где H – параметр Херста сигнала. В случае произвольных
сигналов скейлинговую экспоненту τ(q ) находят из угла наклона
графиков зависимостей Sn,q от n , построенных в двойных
логарифмических координатах для различных значений q . По
известной  зависимости    τ(q )   определяют    обобщенные
фрактальные размерности Dq и спектр сингулярностей D(h ) . Для
этого используют выражения (3.2.12) и (3.2.14), осуществив в них
                                                              61