Новационные методы анализа стохастических процессов и структур в оптике. Фрактальные и мультифрактальные методы, вейвлет-преобразования. Короленко П.В - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Глава 3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МУЛЬТИФРАКТАЛЬНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
62
замену и h→α ).()( hDf →
α
Рассматриваемый метод является
приближенным, поскольку он позволяет точно определять лишь
часть спектра сингулярностей, которая соответствует
положительным значениям
(эта часть на графике,
приведенном на
рис. 3.6, помечена крестиками). Вторая часть
спектра может быть определена лишь приблизительно, с
помощью зеркального отображения рассчитанной кривой
относительно вертикальной оси, проходящей через максимум.
q
Проиллюстрируем применение указанного метода на примере
обработки трех модельных сигналов
, , , показанных
рис. 3.7,а, б, в. Эти сигналы построены с использованием
функции Вейерштрасса (2.2.9). При построении сигнала
использовался следующий набор параметров:
k
X
k
Y
k
Z
k
X
2
=
N
, 25,0
=
σ
,
, , 35,1=b 05,1=D 005,0
=
x . Сигнал соответствует
параметрам
k
Y
10
=
N , 25,0
=
σ
, 35,1
=
b , 35,1
=
D , 005,0
=
x .
Сигнал
обладает теми же параметрами, что и сигнал , за
исключением параметра
. При построении сигнала
величина
представляла собой функцию
k
Z
k
Y
D
k
Z
D
()
2002sin3,03,1 kD
π
⋅+= .
Определенные на основе выражений (4) и (5) скейлинговые
экспоненты указанных сигналов
(
)
q
τ
графически представлены
на
рис. 3.8. Для сигналов , графики
k
X
k
Y
(
)
q
τ
хорошо
аппроксимируются прямыми, причем угол наклона графика,
относящегося к сигналу
, больше. График же
k
X
(
)
q
τ
для сигнала
характеризуется определенным изгибом. Различие в
поведение
определяет и различие в структуре спектров
сингулярностей.
k
Z
()
qτ
Рассчитанные спектры сингулярностей приведены на рис. 3.9.
Спектры сингулярностей фрактальных сигналов
и
представляют собой дельтаобразные выбросы, ордината которых
равна 1. Абсциссы выбросов, равны параметрам Херста
,
связанных с задаваемыми значениями
соотношением
(это означает, что все локальные параметры Херста
равны
H ). Спектр сигнала имеет ширину спектра.
k
X
k
Y
H
D
DH −= 2
k
Z
Глава 3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МУЛЬТИФРАКТАЛЬНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ

замену α → h и f (α ) → D(h ). Рассматриваемый метод является
приближенным, поскольку он позволяет точно определять лишь
часть      спектра        сингулярностей,     которая   соответствует
положительным значениям q                 (эта часть на графике,
приведенном на рис. 3.6, помечена крестиками). Вторая часть
спектра может быть определена лишь приблизительно, с
помощью зеркального отображения рассчитанной кривой
относительно вертикальной оси, проходящей через максимум.
   Проиллюстрируем применение указанного метода на примере
обработки трех модельных сигналов X k , Yk , Zk , показанных
рис. 3.7,а, б, в. Эти сигналы построены с использованием
функции Вейерштрасса (2.2.9). При построении сигнала X k
использовался следующий набор параметров: N = 2 , σ = 0,25 ,
b = 1,35 ,     D = 1,05 ,    x = 0,005 . Сигнал Yk      соответствует
параметрам N = 10 , σ = 0,25 , b = 1,35 , D = 1,35 , x = 0,005 .
Сигнал Zk обладает теми же параметрами, что и сигнал Yk , за
исключением параметра D . При построении сигнала Zk
величина            D         представляла        собой      функцию
D = 1,3 + 0,3 ⋅ sin(2πk 200 ) .
   Определенные на основе выражений (4) и (5) скейлинговые
экспоненты указанных сигналов τ(q ) графически представлены
на рис. 3.8. Для сигналов X k , Yk графики τ(q ) хорошо
аппроксимируются прямыми, причем угол наклона графика,
относящегося к сигналу X k , больше. График же τ(q ) для сигнала
Zk характеризуется определенным изгибом. Различие в
поведение τ(q ) определяет и различие в структуре спектров
сингулярностей.
   Рассчитанные спектры сингулярностей приведены на рис. 3.9.
Спектры сингулярностей фрактальных сигналов X k и Y k
представляют собой дельтаобразные выбросы, ордината которых
равна 1. Абсциссы выбросов, равны параметрам Херста H ,
связанных с задаваемыми значениями D соотношением
H = 2 − D (это означает, что все локальные параметры Херста
равны H ). Спектр сигнала Z k имеет ширину спектра.

62

Страницы