Новационные методы анализа стохастических процессов и структур в оптике. Фрактальные и мультифрактальные методы, вейвлет-преобразования. Короленко П.В - 67 стр.

                                                              4.1. Разложение сигнала по вейвлетам

Преобразование Фурье, позволяющее единообразным образом
представить обширный класс функций в виде разложения по
базисным функциям ψ m (t ) = e imt , широко используется в
математике и физике. Однако практика использования рядов
Фурье показала, что базисные функции – синус и косинус – явно
неудачны для представлений функций и сигналов с локальными
особенностями, например, разрывами, скачками, резкими
перепадами. Бесконечное число членов в ряде Фурье приводят к
трудностям в практических расчетах, а их ограничение может
приводить к большим погрешностям.
    Вейвлеты и вейвлет-преобразования позволяют освободиться
от указанных недостатков. Термин вейвлет в переводе с
английского wavelet означает “короткая или маленькая волна”. По
своей структуре вейвлеты занимают промежуточное положение
между синусоидами и импульсными δ -образными функциями.
    Для того чтобы осуществить разложение функции X (t ) по
вейвлетам ψ(t ) , необходимо, во-первых, предусмотреть систему
сдвигов выбранного вейвлета вдоль оси (пусть для простоты они
будут целыми, то есть сдвинутый вейвлет будет иметь вид
ψ (t − k ) ). Во вторых, нужно ввести аналог частоты m . Для
определенности запишем ее через степени двойки: ψ 2 j t − k ( j                              (     )
и k – целые числа). Таким образом, с помощью масштабных
                                                    ( )
дискретных преобразований 1 2 j и сдвигов k 2 j мы можем                             (   )
описать все частоты и покрыть всю ось t , имея единственный
базисный вейвлет ψ(t ) . Сконструированная указанным способом
система вейвлетов формирует ортонормированный базис и
обладает следующим свойством:
                                    (
                                ψ 2j t − k      )    2
                                                         = 2− j   2
                                                                      ψ (t ) 2 ,*)               (4.1.3)

то есть, если вейвлет                       ψ (t )       имеет единичную норму, то все
вейвлеты семейства              {ψ jk } вида
                                12
                 ⎛∞             ⎞
       ψ (t ) = ⎜⎜ ∫ ψ (t ) dt ⎟⎟
  *)                       2
                                        .
                 ⎝0             ⎠
                                                                                                       67