Новационные методы анализа стохастических процессов и структур в оптике. Фрактальные и мультифрактальные методы, вейвлет-преобразования. Короленко П.В - 68 стр.

Глава 4. ПРИМЕНЕНИЕ ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЙ


                                                     (
                            ψ jk (t ) = 2 j 2 ψ 2 j t − k )   )    (4.1.4)
также нормированы на единицу.
   Разложение функции X (t ) по базису (4) имеет вид
                                            ∞
                              X (t ) =    ∑ C jk ψ jk (t ) .       (4.1.5)
                                         j ,k = −∞

   Простейшим примером ортогонального вейвлета является так
называемый HAAR-вейвлет, определяемый выражением:
                                       ⎧ 1, 0 ≤ t < 1 2 ;
                                       ⎪
                            ψ H (t ) = ⎨− 1, 1 2 < t < 1;          (4.1.6)
                                       ⎪ 0, t < 0, t ≥ 1.
                                       ⎩
Легко видеть, что любые две функции ψ Hjk и ψ Hlm , полученные из
этого вейвлета по формуле (4), ортогональны и имеют единичную
норму.
   Примеры     других   часто    применяемых    вейвлетов   и
соответствующие Фурье-образы представлены на рис. 4.1.
   Сконструируем теперь систему базисных вейвлетов с
помощью     непрерывных     масштабных     преобразований   и
переносов вейвлета ψ(t ) с произвольными значениями базисных
параметров – масштабного коэффициента a и параметра сдвига
b:
                                                      ⎛t −b⎞
                             ψ ab (t ) = a
                                              1
                                               2
                                                     ψ⎜    ⎟.      (4.1.7)
                                                      ⎝ a ⎠
На ее основе запишем интегральное вейвлет-преобразование
функции f (t ) :
                       +∞                            +∞
[W X ](a, b) = a ∫ X (t )ψ ⎛⎜ t −a b ⎞⎟dt = ∫ X (t )ψ (t )dt .
     ψ
                 −1
                   2          *                               *
                                                              ab   (4.1.8)
                       −∞   ⎝         ⎠              −∞

     В тех же обозначениях коэффициенты C jk разложения (5)
могут быть представлены в виде

                                     [   ⎛ 1 k ⎞
                                                 ]
                             C jk = Wψ X ⎜ j , j ⎟ .               (4.1.9)
                                         ⎝2 2 ⎠
68