Новационные методы анализа стохастических процессов и структур в оптике. Фрактальные и мультифрактальные методы, вейвлет-преобразования. Короленко П.В - 71 стр.

                                4.2. Свойства и возможности вейвлет-преобразований

свойства вейвлет-преобразования не зависят от выбора
вейвлета.
   Выпишем основные элементарные свойства вейвлет-
преобразования функции f (t ) . Будем использовать обозначение
EW (a, b ) .

   Линейность:
W [αf1(t ) + βf2 (t )] = αW [f1 ] + β W [f2 ] = αW1(a, b ) + βW2 (a, b ) .   (4.2.1)
Отсюда, в частности, следует, что вейвлет-преобразование
векторной    функции    есть    вектор    с     компонентами,
представляющими собой вейвлет-преобразование каждой из
компонент анализируемого вектора в отдельности.
   Инвариантность относительного сдвига:
                             W [f (t − b0 )] = W (a, b − b0 ) .              (4.2.2)
Из    этого     свойства   следует          коммутативность
дифференцирования, в частности,   ∂ tW [f ] = W [∂ t f ] (здесь
∂ t = ∂ / ∂t ).
    Инвариантность относительно растяжения (сжатия):
                              ⎡ ⎛ t ⎞⎤ 1 ⎛ a b ⎞
                            W ⎢f ⎜⎜ ⎟⎟⎥ = W ⎜⎜ , ⎟⎟ .                        (4.2.3)
                              ⎢⎣ ⎝ a0 ⎠⎥⎦ a0 ⎝ a0 a0 ⎠
Это свойство позволяет, в частности, определять наличие и
характер особенностей анализируемой функции. Имея вейвлет-
спектры, можно вычислить полезные характеристики изучаемого
процесса и проанализировать многие его свойства. Опишем
более    подробно    возможности   анализа   энергетических
характеристик сигнала.
   Полная энергия сигнала f может быть записана через
амплитуды вейвлет-преобразования в виде
                                                                dadb
                       Ef = ∫ f 2 (t )dt = Cψ−1 ∫∫W 2 (a, b )        .       (4.2.4)
                                                                 a2




                                                                                 71