Основы статистических методов в оптике. Короленко П.В - 141 стр.

 Приложение 4. Применение центральной предельной теоремы в
                                                    оптике


                                         N
                f (ψ1 , ψ 2 ,K ψ N ) = ∏ f (ψ n ) .        (П.4.7)
                                        n =1


   Можно показать, что в общем случае генерируе-
мых мод с разными частотами функция плотности
распределения вероятности величины ξ при N → ∞
сходится к гауссовской. Удобный способ нахождения
функции распределения f (ξ ) основан на расчете его
характеристической функции
                           ϕ(v ) = e iξv .

Подстановка в это соотношение выражения (5) дает
                    N              
        ϕ(v ) = expiv ∑ an cos Φ n  =
                    n =1           
                  N                              N
              = ∏ exp{ivan cos Φ n } = ∏ ϕ(van ).
                 n =1                            n =1


Здесь ϕ(van ) – характеристическая функция одной
моды:
   ϕ(νan ) = exp{iνan cos Φ n } =
                  π
               1
                    exp{iνan cos(ωn t + ϕ n )}dϕ n = J 0 (νan ),
              2π −∫π
          =

где J 0 ( x ) – функция Бесселя нулевого порядка от
действительного аргумента.
   Таким образом, характеристическая функция слу-
чайной величины ξ в целом равна
                                 N
                        ϕ(v ) = ∏ J 0 (van ) .             (П.4.8)
                                n =1


                                                               141