Основы статистических методов в оптике. Короленко П.В - 15 стр.

1.2. Средние значения и моменты случайных величин, параметры
                                               распределений


    Величина E [ X ] называется математическим
ожиданием     X . Помимо символа E [X ] для
статистического усреднения мы будем в дальнейшем,
исходя из удобства записи формул, также использо-
вать обозначение X .
     Математическое ожидание обладает следующими
свойствами:
     1. Постоянный множитель выносится за знак ма-
тематического ожидания, E [cX ] = c ⋅ E [X ].
     2. Математическое ожидание суммы случайных
величин равно сумме их математических ожиданий,
E [ X + Y ] = E [ X ] + E [Y ] .
     3. Математическое ожидание произведения неза-
висимых случайных величин равно произведению их
математических ожиданий, E [X ⋅ Y ] = E [X ]⋅ E [Y ] .
     С помощью выражения (1) может быть найдено
математическое ожидание любой функции от x :
                                 ∞
                 E [g ( X )] =   ∫ g (x ) f (x )dx .         (1.2.2)
                                 −∞


   Особое значение при проведении статистического
анализа имеют функции вида g (x ) = x n . Они входят в
общее выражение для так называемых начальных
моментов случайной величины:
                                      ∞
                         [ ] ∫x
                Xn =E Xn =                 n
                                               f (x )dx .    (1.2.3)
                                      −∞


   Самыми важными из моментов E X n случайной          [ ]
величины X являются начальный момент 1-го
порядка (при n = 1 ), равный математическому ожида-
нию (1), и момент 2-го порядка (при n = 2 ), посредст-
                                                                 15