Основы статистических методов в оптике. Короленко П.В - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Глава I. Случайные действительные величины
16
вом которого находится средний квадрат случайной
величины,
[]
()
∫
∞
∞−
== dxxfxXEX
222
. (1.2.4)
Важное значение имеют
центральные моменты,
представляющие собой моменты разности случайной
величины
X и ее математического ожидания X . Так,
центральный момент
n
-го порядка
n
µ
имеет вид
()
()
[]
()
()
.
2
∫
∞+
∞−
−=−=
=−=µ
dxxfXxXXE
XX
n
n
n
(1.2.5)
Первый центральный момент (для 1
=
n ) равен, ес-
тественно, нулю, а второй центральный момент (для
2=n ) настолько важен, что получил даже собствен-
ное название – дисперсии. В литературе для нее
используются обозначения
2
X
σ ,
[
]
XD или
[]
XVar .
Таким образом,
[] []
(
)
()
()
.
Var
2
2
2
2
∫
∞+
∞−
−=
=−===σ=µ
dxxfXx
XXXXD
X
(1.2.6)
Дисперсию можно определить и по-другому, если
воспользоваться правилом для нахождения математи-
ческого ожидания суммы случайных величин:
[]
[
]
[
][]
.
2121 mm
XEXEXEXXXE
+
+
+
=
+
+
+ KK
Таким образом, 
Глава I. Случайные действительные величины


вом которого находится средний квадрат случайной
величины,
                                              ∞
                    X =E X  2
                                [ ]= ∫ x 2        2
                                                      f ( x )dx .                  (1.2.4)
                                             −∞


   Важное значение имеют центральные моменты,
представляющие собой моменты разности случайной
величины X и ее математического ожидания X . Так,
центральный момент n -го порядка µ n имеет вид

                    (
             µn = X − X         )   n
                                        =

                        [(              ) ] = ∫ (x − X )
                                                                                   (1.2.5)
                                             +∞
                                                                  f ( x )dx.
                                        n                     2
                   =E X−X
                                             −∞


    Первый центральный момент (для n = 1 ) равен, ес-
тественно, нулю, а второй центральный момент (для
n = 2 ) настолько важен, что получил даже собствен-
ное название – дисперсии. В литературе для нее
используются обозначения σ X , D[X ] или Var[ X ] .
                               2


Таким образом,

           µ 2 = σ X = D[X ] = Var[X ] = X − X
                        2
                                                          (              )
                                                                         2
                                                                               =
                   +∞                                                              (1.2.6)
                   ∫ (x − X )       f (x )dx.
                                2
               =
                   −∞


    Дисперсию можно определить и по-другому, если
воспользоваться правилом для нахождения математи-
ческого ожидания суммы случайных величин:
     E [X 1 + X 2 + K + X m ] = E [X 1 ] + E [X 2 ] + K + E [X m ].

Таким образом,


16

Страницы