Основы статистических методов в оптике. Короленко П.В - 17 стр.

1.2. Средние значения и моменты случайных величин, параметры
                                               распределений


          [             ] [
σ X = E ( X − X ) = E X 2 − 2 XX + (X 2 ) =
   2                2
                                               ]
          [ ]
       = E X 2 − 2 E [X ]X + ( X ) =
                                  2
                                                       (1.2.7)
       = X 2 − 2 X ⋅ X + (X ) = X 2 − (X ) .
                              2           2



    То есть, дисперсия равна разности между средним
квадратом случайной величины и квадратом ее мате-
матического ожидания. Ее физический смысл состоит
в том, что она определяет среднюю интенсивность
флуктуаций.
    Дисперсия обладает следующими свойствами:
    1. Постоянный множитель можно выносить за знак
дисперсии, возводя его в квадрат: D[cX ] = c 2 D[ X ] .
    2. Дисперсия суммы независимых случайных ве-
личин         равна        сумме          их         дисперсий:
D[X + Y ] = D[X ] + D[Y ] .
    3. Дисперсия случайной величины не изменится,
если к ней прибавить постоянную: D[X + c ] = D[x ] .
    4. Если случайные величины X и Y независимы,
                  [ ] [ ]
то D[X ⋅ Y ] = E X 2 ⋅ E Y 2 − (E [X ]) ⋅ (E [Y ]) .
                                       2          2


    Величина σ X – значение квадратного корня из
дисперсии – называется стандартным или средним
квадратическим отклонением.
    При весьма общих условиях набор моментов пол-
ностью определяет распределение вероятностей.
Встречается немало случаев, когда проще найти пол-
ный набор моментов неизвестного распределения, чем
непосредственно само распределение. В таких случаях
распределение удается построить исходя из набора
данных моментов.
    Моменты являются общими (интегральными) ха-
рактеристиками. Наряду с ними используются пара-
метры, которые характеризуют отдельные значения
                                                             17