Основы статистических методов в оптике. Короленко П.В - 27 стр.

    1.4. Биномиальное распределение и распределение Пуассона


 X число появления события A в этих испытаниях.
Чтобы найти закон распределения величины X , опре-
делим возможные значения X и их вероятности. Оче-
видно, событие A в n реализациях может либо не
появиться, либо появиться 1 раз, либо 2 раза,… либо
n раз. Таким образом, величине X ставится в
соответствие следующие значения: x1 = 0 , x2 = 1 ,
 x3 = 2 , …, xn +1 = n . Вероятности этих возможных
значений можно найти, воспользовавшись формулой
Бернулли:
                    Pn (k ) = C nk p k q n − k ,     (1.4.1)

                                            n!
где k = 0, 1, 2,K n , а коэффициент C nk =          обоз-
                                        k!(n − k )!
начает число сочетаний из n элементов по k .
    Формула (1) и задает биномиальный закон распре-
деления. При таком распределении математическое
ожидание X = np , дисперсия D[ X ] = npq .
    Будем считать, что при очень большом числе ис-
пытаний, в каждом из которых вероятность события
 A очень мала, событие наступит ровно k раз, при
этом произведение np сохраняет постоянное значе-
ние, а именно np = λ . Это означает, что среднее число
появления события в различных сериях испытаний, то
есть при различных значениях n , остается неизмен-
ным. При таких допущениях закон распределения
будет иметь вид
                    Pn (k ) = λk e − λ k! .          (1.4.2)

Формула     (2)   будет    характеризовать   закон
распределения Пуассона, справедливый для массовых


                                                         27