Основы статистических методов в оптике. Короленко П.В - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Глава I. Случайные действительные величины
38
1.7. Характеристическая функция
Пусть дана непрерывная случайная величина
X
и
соответствующая ей плотность вероятности
()
xf
X
.
Для ряда задач удобно ввести функцию от пере-
менной
u
, которая представляет собой математиче-
ское ожидание величины
.
jux
e Она называется
характеристической функцией случайной величины
X
. По определению, эта функция
(
)
u
ϕ
равна
() ()
∫
∞
∞−
==ϕ dxxfu
X
juxjux
ee . (1.7.1)
Здесь
1−=j
– мнимая единица.
Из свойств интеграла Фурье следует обратная
формула
() ()
∫
∞
∞−
−
ϕ
π
= duuxf
jux
X
e
2
1
. (1.7.2)
Введение характеристической функции связано с
тем, что ее последовательные производные, в которых
положено
0
=u
, представляют собой, с точностью до
коэффициента
j
±
, начальные моменты того же по-
рядка. Действительно,
() ()
() ()
() ()
.0
,0
,10
)(
∫
∫
∫
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
==ϕ
==ϕ
′
==ϕ
rr
X
rrr
X
X
Xjdxxfxj
Xjdxxxfj
dxxf
M
(1.7.3) 
Глава I. Случайные действительные величины


          1.7. Характеристическая функция
    Пусть дана непрерывная случайная величина X и
соответствующая ей плотность вероятности f X ( x ) .
    Для ряда задач удобно ввести функцию от пере-
менной u , которая представляет собой математиче-
ское ожидание величины e jux . Она называется
характеристической функцией случайной величины
 X . По определению, эта функция ϕ(u ) равна
                                       ∞
                ϕ(u ) = e   jux
                                    = ∫ e jux f X (x )dx .      (1.7.1)
                                       −∞


Здесь j = − 1 – мнимая единица.
   Из свойств интеграла Фурье следует обратная
формула
                                       ∞
                                1
                  f X (x ) =         ϕ(u ) e − jux du .
                               2π −∫∞
                                                                (1.7.2)

    Введение характеристической функции связано с
тем, что ее последовательные производные, в которых
положено u = 0 , представляют собой, с точностью до
коэффициента ± j , начальные моменты того же по-
рядка. Действительно,
                                   ∞
                     ϕ(0) =        ∫ f (x )dx = 1,
                                       X
                               −∞
                               ∞
                 ϕ′(0) = j ∫ xf X ( x )dx = j X ,               (1.7.3)
                               −∞
                                       M
                               ∞
             ϕ ( r ) (0 ) = j r ∫ x r f X ( x )dx = j r X r .
                               −∞




38

Страницы