Основы статистических методов в оптике. Короленко П.В - 39 стр.

                        1.8. Центральная предельная теорема


   Если характеристическая функция случайной ве-
личины известна, то для определения моментов целе-
сообразно воспользоваться соотношениями (3), а не
интегрировать функцию плотности распределения
вероятностей.

       1.8. Центральная предельная теорема
    В ходе анализа статистических характеристик
встречающихся на практике разнообразных случайных
физических величин можно убедиться в том, что чаще
всего их функции распределения оказываются близ-
кими к нормальным. Чем это объясняется? Ответ на
тот вопрос дает центральная предельная теорема,
доказанная А.М. Ляпуновым. Ее смысл передает сле-
дующая формулировка: если случайная величина X
представляет собой сумму очень большого числа вза-
имно независимых случайных величин, влияние каж-
дой из которых на всю сумму ничтожно мало, то X
имеет распределение близкое к нормальному. По-
скольку флуктуации любой физической величины яв-
ляются следствием наложения многочисленных слу-
чайных факторов (колебания температуры, влажности,
давления и т.д.), центральная предельная теорема дает
правильный ориентир в оценке характера распределе-
ния вероятностей.
    Центральную предельную теорему можно сфор-
мулировать более строго. Пусть X 1 , X 2 , …, X n – не-
зависимые случайные переменные с произвольными
распределениями (не обязательно одинаковыми),
имеющими средние значения X 1 , X 2 , …, X n и
             2     2         2
дисперсии σ1 , σ 2 , …, σ n . Кроме того, пусть Z –
случайная переменная, которая определяется следую-
щим образом:

                                                        39