Основы статистических методов в оптике. Короленко П.В - 41 стр.

  1.9. Совместные распределения случайных величин. Условные
функции распределения и плотность распределения вероятностей


дальнейшем мы ограничимся анализом системы из
двух величин X и Y .
    Определим двумерную (совместную) функцию рас-
пределения вероятностей случайных величин X и Y
как вероятность события, при котором случайная ве-
личина X принимает значение, меньшее или рав-
ное x , и случайная величина Y принимает значение,
меньшее или равное y , т.е.
                 F ( x, y ) = P ( X ≤ x, Y ≤ y ) .           (1.9.1)

     А      двумерную      (совместную)    плотность
распределения вероятностей f ( x, y ) , будем считать
равной производной функции F ( x, y ) . Поскольку
F (x, y ) зависит от двух независимых переменных x и
 y , дифференцирование нужно выполнять по обеим
переменным. Таким образом,
                                    ∂ 2 F ( x, y )
                       f ( x, y ) =                ,         (1.9.2)
                                       ∂x ∂y

где порядок дифференцирования может быть любой.
При этом элемент вероятности можно записать в виде
f ( x, y )dxdy = P( x < X ≤ x + dx, y < Y ≤ y + dy ) .       (1.9.3)

    Дадим теперь определение условной функции
вероятности случайной величины X при условии, что
произошло событие M . Эта функция обозначается
F (x M ) и определяется выражением
                                            P{X ≤ x, M }
          F (x M ) = P{X ≤ x M } =                       ,
                                               P (M )        (1.9.4)
          P(M ) > 0,


                                                                 41