Основы статистических методов в оптике. Короленко П.В - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Глава I. Случайные действительные величины
44
ласти, расположенной под прямой
zyx
=
+
. Для лю-
бого заданного
y
значение
x
должно быть таким,
чтобы выполнялось условие
y
zx
−
<
<
∞
−
. Таким
образом,
()
∫∫
∞
∞−
−
∞−
=
yz
Z
dxdyyxfzF ,)(
. (1.10.1)
В силу статистической независимости величин
X
и
Y
, их совместная плотность распределения вероятно-
стей представима в виде произведения двух сомножи-
телей. Тогда (1) примет вид
() () ()
() ()
.
∫∫
∫∫
∞
∞−
−
∞−
∞
∞−
−
∞−
=
==
yz
XY
yz
YXZ
dxdyxfyf
dxdyyfxfzF
(1.10.2)
Плотность распределения вероятностей случайной ве-
личины
Y
X
Z
+= можно найти, продифференцировав
()
zF
Z
по z . Таким образом,
()
()
() ( )
∫
∞
∞−
−== dyyzfyf
dz
zdF
zf
XY
Z
Z
, (1.10.3)
поскольку переменная
фигурирует только в верхнем
пределе второго интеграла. Выражение (3) указывает
на то, что
(
)
zf
Z
представляет собой свертку одновре-
менных плотностей распределения вероятностей слу-
чайных величин
X
и
Y
.
Таким образом,
(
)
zF
Z
представима не только в
виде (1), но и как 
Глава I. Случайные действительные величины


ласти, расположенной под прямой x + y = z . Для лю-
бого заданного y значение x должно быть таким,
чтобы выполнялось условие − ∞ < x < z − y . Таким
образом,
                                  ∞ z− y
                   FZ ( z ) =     ∫ ∫ f (x, y )dxdy .
                                  −∞ −∞
                                                              (1.10.1)


В силу статистической независимости величин X и
Y , их совместная плотность распределения вероятно-
стей представима в виде произведения двух сомножи-
телей. Тогда (1) примет вид
                             ∞ z− y
               FZ (z ) =     ∫ ∫ f (x ) f ( y )dxdy =
                                      X           Y
                             −∞ −∞
                                           z− y
                                                              (1.10.2)
                             ∞
                         =   ∫ f ( y ) ∫ f (x )dxdy.
                             −∞
                                  Y
                                           −∞
                                                  X



Плотность распределения вероятностей случайной ве-
личины Z = X + Y можно найти, продифференцировав
FZ ( z ) по z . Таким образом,
                        dFZ ( z ) ∞
           f Z (z ) =            = ∫ f Y ( y ) f X (z − y )dy , (1.10.3)
                          dz       −∞


поскольку переменная z фигурирует только в верхнем
пределе второго интеграла. Выражение (3) указывает
на то, что f Z (z ) представляет собой свертку одновре-
менных плотностей распределения вероятностей слу-
чайных величин X и Y .
    Таким образом, FZ ( z ) представима не только в
виде (1), но и как


44

Страницы