Основы статистических методов в оптике. Короленко П.В - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

2.2. Общая характеристика суммы случайных фазоров
51
Учитывая, что r и
i
представляют собой суммы мно-
гих независимых случайных вкладов, мы приходим к
выводу, что в силу центральной предельной теоремы
r
и
i
будут приблизительно гауссовскими случай-
ными переменными при больших значениях
N
.
Сделанные предположения дают возможность опреде-
лить основные статистические характеристики
r и i .
Среднее значение действительной и мнимой
частей
r
и i вычисляют следующим образом:
.sinsin
1
sin
1
,coscos
1
cos
1
1
1
1
1
ϕα=ϕα=
=ϕα=
ϕα=ϕα=
=ϕα=
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
N
N
N
i
N
N
N
r
N
k
kk
N
k
kk
N
k
kk
N
k
kk
(2.2.3)
Здесь мы воспользовались тем, что
k
α
и
k
ϕ незави-
симы и распределены одинаково при всех
k
. Но,
кроме того, согласно предположению 3, случайная пе-
ременная
ϕ однородно распределена на интервале
()
ππ− , , что приводит к равенству 0sincos =ϕ=ϕ , а
отсюда к равенству
0== ir
. (2.2.4)
Таким образом, оказывается, что действительная и
мнимая части имеют нулевые средние значения.
Чтобы вычислить дисперсии
2
r
σ
и
2
i
σ
, достаточ-
но найти вторые моменты
2
r и
2
i (так как
0== ir
).
Поскольку амплитуды и фазы независимы, напишем 
             2.2. Общая характеристика суммы случайных фазоров


Учитывая, что r и i представляют собой суммы мно-
гих независимых случайных вкладов, мы приходим к
выводу, что в силу центральной предельной теоремы
r и i будут приблизительно гауссовскими случай-
ными переменными при больших значениях N .
Сделанные предположения дают возможность опреде-
лить основные статистические характеристики r и i .
    Среднее значение действительной и мнимой
частей r и i вычисляют следующим образом:
                        N
                  1
              r=
                  N
                       ∑α
                       k =1
                              k   cos ϕk =
                        N
                  1
                =
                  N
                       ∑α
                       k =1
                              k   cos ϕk = N αcos ϕ,
                        N
                                                         (2.2.3)
                  1
               i=
                  N
                       ∑α
                       k =1
                              k   sin ϕk =
                        N
                  1
                =
                  N
                       ∑α
                       k =1
                              k   sin ϕk = N αsin ϕ.

Здесь мы воспользовались тем, что α k             и ϕk незави-
симы и распределены одинаково при                  всех k . Но,
кроме того, согласно предположению 3,             случайная пе-
ременная ϕ однородно распределена                 на интервале
(− π, π) ,
        что приводит к равенству cos ϕ = sin ϕ = 0 , а
отсюда к равенству

                              r =i = 0.                  (2.2.4)
   Таким образом, оказывается, что действительная и
мнимая части имеют нулевые средние значения.
                                  2     2
   Чтобы вычислить дисперсии σ r и σ i , достаточ-
но найти вторые моменты r 2 и i 2 (так как r = i = 0 ).
Поскольку амплитуды и фазы независимы, напишем
                                                    51

Страницы