Основы статистических методов в оптике. Короленко П.В - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

2.3. Некоторые частные случаи суммирования случайных
фазоров
57
распределение величин
R
и
I
остается приблизитель-
но гауссовским, но изменяется среднее значение, т.е.
()
(
)
.
2
exp
2
1
,
2
2
2
2
σ
+−
−
πσ
=
isr
irf
RI
(2.3.3)
Как и прежде, сосредоточимся на распределении
длины
a и фазы
θ
результирующего фазора.
Преобразование к полярным координатам совпадает с
рассмотренным выше и якобиан преобразования оста-
ется равным
A
, так что совместная плотность
распределения
()
()()
π≤θ<π−
>
πσ
=θ
σ
θ+−θ
−
θ
прочих. при,0
,
,0
,e
2
,
2
22
2
sincos
2
a
a
af
asa
A
(2.3.4)
Чтобы найти маргинальную плотность распределения
A
, следует осуществить интегрирование
() ( )
.cosexp
2
exp
2
,
22
22
2
Θ
∫
∫
π
π−
π
π−
θ
θ
σ
σ
+
−
πσ
=
=θθ=
d
assaa
dafaf
AA
Интеграл может быть представлен в виде
(
)
2
0
2 σπ asI
,
где
0
I – модифицированная функция Бесселя первого
рода нулевого порядка. Таким образом, получаем
выражение
()
>
σ
σ
+
−
σ
=
прочих. при,0
,0при,
2
exp
2
0
2
22
2
a
as
I
saa
af
A
(2.3.5) 
        2.3. Некоторые частные случаи суммирования случайных
                                                     фазоров


распределение величин R и I остается приблизитель-
но гауссовским, но изменяется среднее значение, т.е.
                                  1       (r − s )2 + i 2 
              f RI (r , i ) =         exp−                .       (2.3.3)
                                2πσ 2         2σ 2        
    Как и прежде, сосредоточимся на распределении
длины a и фазы θ результирующего фазора.
Преобразование к полярным координатам совпадает с
рассмотренным выше и якобиан преобразования оста-
ется равным A , так что совместная плотность
распределения
               a − (a cos θ − s ) +2 (a sin θ )
                                      2      2
                                                      a > 0,
              
f Aθ (a, θ) =  2πσ2 e
                                2σ
                                                 ,
                                                   − π < θ ≤ π, (2.3.4)
                        0,                        при прочих.
              
Чтобы найти маргинальную плотность распределения
A , следует осуществить интегрирование
                   π
      f A (a ) =   ∫ f (a, θ)dθ =
                        AΘ
                   −π

                    a        a2 + s2  π      as      
             =           exp −       ∫ exp 2 cos θ dθ.
                   2πσ 2
                                2σ 2
                                       − π    σ       

Интеграл может быть представлен в виде 2πI 0 as σ 2 ,           (        )
где I 0 – модифицированная функция Бесселя первого
рода нулевого порядка. Таким образом, получаем
выражение
           a       a 2 + s 2   as 
            2 exp −          I 0  , при a > 0,
f A (a ) =  σ        2σ 2   σ 2                 (2.3.5)
                       0,                при прочих.
           

                                                                        57

Страницы