Основы статистических методов в оптике. Короленко П.В - 65 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

3.1. Выборки
65
Таким образом, математическое ожидание выбо-
рочного среднего равно генеральному, т.е. является
несмещенной оценкой генерального среднего. Широко
употребляющийся в математической статике термин
несмещенная оценка, означает, что математическое
ожидание оценки параметра равно математическому
ожиданию параметра.
Отметим, что выборочное среднее представляет
собой случайную величину. Принимаемые им значе-
ния для конкретных реализаций (эмпирическое выбо-
рочное среднее) флуктуирует около значения
генерального. Величину этих отклонений характери-
зует дисперсия выборочного среднего.
Пусть объем выборки много меньше объема гене-
ральной совокупности, т.е.
Nn
<
<
. Будем также счи-
тать, что при формировании выборок характеристики
всей совокупности экспериментальных данных не ме-
няются. Такое предположение эквивалентно условию
∞=N
.
Для определения дисперсии выборочного среднего
(выборочной дисперсии)
XD
)
, найдем разность ме-
жду средним квадратом и квадратом математического
ожидания случайной величины
X
)
, которое, как было
установлено выше, равно генеральному среднему
X
:
(
)
()
()
[]
()
.
1
1
2
11
2
2
11
2
XXXE
n
XXX
n
EXD
n
i
n
j
ji
n
i
n
j
ji
−=
=−
=
∑∑
∑∑
==
==
)
(3.1.4)
Поскольку
i
X
и
j
X
– параметры элементов гене-
ральной совокупности, при
j
i
≠
их можно считать 
                                               3.1. Выборки


    Таким образом, математическое ожидание выбо-
рочного среднего равно генеральному, т.е. является
несмещенной оценкой генерального среднего. Широко
употребляющийся в математической статике термин
несмещенная оценка, означает, что математическое
ожидание оценки параметра равно математическому
ожиданию параметра.
    Отметим, что выборочное среднее представляет
собой случайную величину. Принимаемые им значе-
ния для конкретных реализаций (эмпирическое выбо-
рочное среднее) флуктуирует около значения
генерального. Величину этих отклонений характери-
зует дисперсия выборочного среднего.
    Пусть объем выборки много меньше объема гене-
ральной совокупности, т.е. n << N . Будем также счи-
тать, что при формировании выборок характеристики
всей совокупности экспериментальных данных не ме-
няются. Такое предположение эквивалентно условию
 N =∞.
    Для определения дисперсии выборочного среднего
                                   )
                                 
(выборочной дисперсии) D  X  , найдем разность ме-
                                 
жду средним квадратом и квадратом математического
                                      )
ожидания случайной величины X , которое, как было
установлено выше, равно генеральному среднему X :
              )
                      ( )
                          2 n          
                                  n
             
          D  X  = E  1 ∑∑ X i X j  − ( X ) =
                                              2

                       n
                           i =1 j =1           (3.1.4)
                  ( n ) ∑∑ E[X X ] − (X ) .
                      2 n    n
                = 1
                                           2
                                   i   j
                       i =1 j =1


   Поскольку X i и X j – параметры элементов гене-
ральной совокупности, при i ≠ j их можно считать
                                                        65

Страницы