Основы статистических методов в оптике. Короленко П.В - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

3.2. Выборочная дисперсия
67
Последний член в квадратных скобках в правой
части этого выражения есть выборочное среднее, та-
ким образом, выборочная дисперсия представляет со-
бой среднее значение квадрата разности случайных
величин и выборочного среднего.
Раскрыв в (1) скобки и определив математические
ожидания каждого члена суммы, после ряда преобра-
зований получаем
[]
n
n
SE
)1(
2
2
−σ
=
, (3.2.2)
где
2
σ – генеральная дисперсия. Математическое ожи-
дание выборочной дисперсии не равно генеральной
дисперсии, значит это смещенная оценка. Ситуация
меняется, если перейти к исправленной дисперсии
2
s
()
∑
=
−
−
=−=
n
i
i
XX
n
nnSs
1
2
22
1
1
1
)
. (3.2.3)
Исправленная дисперсия – несмещенная оценка (ее
математическое ожидание равно генеральной
дисперсии).
Формулы (2) и (3) справедливы для генеральной
совокупности бесконечно большого объема. Если же
объем генеральной совокупности ограничен и равен
N , то
[]
(
)
()
1
1
2
2
−
−σ
=
Nn
nN
SE
. (3.2.4)
Мы опять получили смещенную оценку. Смеще-
ние устранимо, если
2
s
определить как
(
)
(
)
11
22
−−= nNNnSs . (3.2.5) 
                                      3.2. Выборочная дисперсия


    Последний член в квадратных скобках в правой
части этого выражения есть выборочное среднее, та-
ким образом, выборочная дисперсия представляет со-
бой среднее значение квадрата разности случайных
величин и выборочного среднего.
    Раскрыв в (1) скобки и определив математические
ожидания каждого члена суммы, после ряда преобра-
зований получаем

                       [ ]
                     E S2 =
                               σ 2 (n − 1)
                                    n
                                           ,            (3.2.2)

где σ 2 – генеральная дисперсия. Математическое ожи-
дание выборочной дисперсии не равно генеральной
дисперсии, значит это смещенная оценка. Ситуация
меняется, если перейти к исправленной дисперсии s 2
                                                ) 2
                              1 n                
           s = S n (n − 1) =
            2   2
                                  ∑      X i − X  . (3.2.3)
                             n − 1 i =1          
Исправленная дисперсия – несмещенная оценка (ее
математическое   ожидание     равно   генеральной
дисперсии).
    Формулы (2) и (3) справедливы для генеральной
совокупности бесконечно большого объема. Если же
объем генеральной совокупности ограничен и равен
N , то
                              σ 2 N (n − 1)
                      [ ]
                    E S2 =
                               n( N − 1)
                                            .           (3.2.4)

    Мы опять получили смещенную оценку. Смеще-
ние устранимо, если s 2 определить как
                 s 2 = S 2 n(N − 1) N (n − 1) .         (3.2.5)


                                                            67

Страницы