Основы статистических методов в оптике. Короленко П.В - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Глава III. Элементы математической статистики
66
статистически независимыми случайными величи-
нами. Следовательно,
[]
()
≠
=
=
.
,
,
,
2
2
ji
ji
X
X
XXE
ji
С учетом этого соотношения (4) принимает вид
()
()
()
[]
()
()
()
,
1
2
2
2
22
22
2
nnXX
XXnnXnnXD
σ=−=
=−−+=
)
(3.1.5)
где
2
σ
– дисперсия генеральной совокупности (гене-
ральная дисперсия). Из последнего выражения видно,
что с ростом
n
величина
XD
)
уменьшается. Таким
образом, увеличение объема выборки приводит к по-
вышению точности оценки генерального среднего, по-
скольку математическое ожидание выборочного сред-
него всегда равно генеральному среднему независимо
от объема выборки, а выборочная дисперсия
XD
)
при увеличении n уменьшается.
3.2. Выборочная дисперсия
Во избежание дублирования обозначений, будем
использовать для выборочной дисперсии символ
2
S .
Так,
2
S для выборки, состоящей из случайных вели-
чин
1
X ,
2
X , …,
n
X
, равна
() () ()
∑∑∑
===
−=
−=
n
i
n
i
n
j
jii
XnXnXXnS
11
2
1
2
2
111
)
. (3.2.1) 
Глава III. Элементы математической статистики


статистически независимыми случайными величи-
нами. Следовательно,
                               X 2 , i = j ,
                       [       ]
                   E Xi X j =  2
                               (X ) , i ≠ j.

      С учетом этого соотношения (4) принимает вид

                           [                       ]
             )
            
                                           (   )
         D  X  = (1 n ) n X 2 + n 2 − n ( X ) − ( X ) =
                         2                     2       2

                                                        (3.1.5)
                   (                   )
                 = X 2 − (X ) n = σ2 n ,
                                   2



где σ 2 – дисперсия генеральной совокупности (гене-
ральная дисперсия). Из последнего выражения видно,
                             )
                            
что с ростом n величина D  X  уменьшается. Таким
                            
образом, увеличение объема выборки приводит к по-
вышению точности оценки генерального среднего, по-
скольку математическое ожидание выборочного сред-
него всегда равно генеральному среднему независимо
                                                )
                                                
от объема выборки, а выборочная дисперсия D  X 
                                                
при увеличении n уменьшается.

                 3.2. Выборочная дисперсия
   Во избежание дублирования обозначений, будем
использовать для выборочной дисперсии символ S 2 .
Так, S 2 для выборки, состоящей из случайных вели-
чин X 1 , X 2 , …, X n , равна
                    ) 2           n 
                                                      2
             n
                                             n    
S = (1 n )∑  X i − X  = (1 n )∑  X i−(1 n )∑ X j  . (3.2.1)
  2

          i =1                i =1         j =1  

66

Страницы