Основы статистических методов в оптике. Короленко П.В - 72 стр.

Глава III. Элементы математической статистики


пени. В этом разделе мы ограничимся первой степе-
нью, чтобы сохранить простоту описания существен-
ных аспектов метода. Метод аппроксимации полино-
мом первой степени называются линейной регрессией.
   Уравнение линейной регрессии имеет вид
                     y = a + bx ,            (3.4.3)

в котором следует определить значения a и b ,
удовлетворяющие (1). Для этого запишем (1) в форме
                        n

                      ∑ [ y − (a + bx )]
                                                                                2
                                     i                              i               = min .                     (3.4.4)
                       i =1


    Для минимизации (4), продифференцируем его по
a и по b и приравняем производные нулю. В резуль-
тате получим систему уравнений
       n                       n                      n                                    n              n

     ∑y          = an + b∑ xi ,                     ∑x y                        = a ∑ xi + bn∑ xi ,
                                                                                                                2
             i                                                  i       i
      i =1                    i =1                   i =1                                i =1            i =1


решив которую, найдем искомые значения a и b :
                              n                 n                           n            n

                            ∑ yi ∑ xi − ∑ xi ∑ yi
                                                            2


                    a=      i =1              i =1                      i =1          i =1
                                                                                         2
                                                                                                     =
                                          n
                                                 2
                                                                        n
                                   n∑ x −  ∑ xi    2
                                                     i                                                          (3.4.5)
                                    i =1   i =1 
                                              n                                      n
                      = (1 n )∑ yi − (b n )∑ xi ,
                                          i =1                                      i =1

                                          n                             n             n
                                  n∑ xi yi − ∑ xi ∑ yi
                      b=                 i =1                       i =1             i =1
                                                                                             2
                                                                                                 .              (3.4.6)
                                                n
                                                   n 
                                         n∑ xi2 −  ∑ xi 
                                          i =1     i =1 


72