Основы статистических методов в оптике. Короленко П.В - 82 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Глава IV. Анализ случайных процессов
82
Для эргодичности случайного процесса, он должен
быть строго стационарным. При этом не все строго
стационарные процессы являются эргодическими.
Важное значение для описания процессов с дис-
кретизированным временем имеет теорема Котель-
никова. Рассмотрим сначала процесс, определяемый
детерминированной функцией
(
)
tf . Ее спектр (пре-
образование Фурье)
(
)
ω
F будем считать непрерыв-
ным и ограниченным полосой частот
(
)
∆
∆
−
,
; при
частотах
∆≥ω будем полагать, что
(
)
0
=
ω
F . Тем
самым, справедливо выражение
() ()
∫
∆
∆−
ω
ωω
π
= dFtf
ti
e
2
1
. (4.1.8)
Функция
()
ω
F представима рядом Фурье на интер-
вале
()
ΩΩ− ,
при условии, что
∆
>>
:
()
∑
∞
−∞=
ω
Ω
π
−
=ω
n
in
n
cF
2
2
e , (4.1.9)
где
()
()
.
2
2
e
2
1
e
2
1
2
2
2
2
Ω
π
Ω
π
=ωω
Ω
=
=ωω
Ω
=
∫
∫
∆
∆−
ω
Ω
π
Ω
Ω−
ω
Ω
π
n
fdF
dFc
in
in
n
(4.1.10)
Ряд в правой части выражения (9) является периоди-
ческой функцией частоты с периодом
Ω
2
, которая
совпадает с
()
ωF лишь на основном интервале
()
ΩΩ− , и не совпадает на остальных
(
)
(
)
Ω+
Ω
±
1, kk ,
1≥k . Подставляя (9) в (8) и учитывая (10), получим 
Глава IV. Анализ случайных процессов


    Для эргодичности случайного процесса, он должен
быть строго стационарным. При этом не все строго
стационарные процессы являются эргодическими.
    Важное значение для описания процессов с дис-
кретизированным временем имеет теорема Котель-
никова. Рассмотрим сначала процесс, определяемый
детерминированной функцией f (t ) . Ее спектр (пре-
образование Фурье) F (ω) будем считать непрерыв-
ным и ограниченным полосой частот (− ∆, ∆ ) ; при
частотах ω ≥ ∆ будем полагать, что F (ω) = 0 . Тем
самым, справедливо выражение
                                  ∆
                               1
                   f (t ) =          F (ω) e iωt dω .
                              2π −∫∆
                                                             (4.1.8)

Функция F (ω) представима рядом Фурье на интер-
вале (− Ω, Ω ) при условии, что Ω >> ∆ :
                                   ∞          2 πin
                                          −         ω
                     F (ω) =     ∑ cn e        2Ω
                                                        ,    (4.1.9)
                                 n = −∞


где
                     Ω            2 πin
                  1             ω
          cn =       ∫ F (ω)e 2Ω dω =
                 2Ω − Ω
                     ∆           2 πin
                                                            (4.1.10)
                1              ω     2π  πn 
             =     ∫  F (ω)e 2Ω dω =   f  .
               2Ω − ∆                2Ω  Ω 

Ряд в правой части выражения (9) является периоди-
ческой функцией частоты с периодом 2Ω , которая
совпадает с F (ω) лишь на основном интервале
(− Ω, Ω ) и не совпадает на остальных (± kΩ, (k + 1) Ω ) ,
k ≥ 1 . Подставляя (9) в (8) и учитывая (10), получим

82

Страницы