Основы статистических методов в оптике. Короленко П.В - 83 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

4.1. Общие характеристики случайных процессов. Стационарные
и эргодические процессы
83
()
∑
∞
−∞=
Ω
π
−Ω
Ω
π
−Ω
Ω
π
=
n
n
t
n
t
n
ftf
sin
,
∆
≥
Ω
. (4.1.11)
Выражение (11) представляет интерполяционную
формулу, при помощи которой можно по отсчетам
функции f в дискретные моменты времени с часто-
той
∆≥Ω 22
восстановить точно все значения
()
tf на
оси времени от
∞− до
∞
.
При минимально возможной частоте отбора
∆=Ω 22
()
∑
∞
−∞=
∆
π
−∆
∆
π
−∆
∆
π
=
n
n
t
n
t
n
ftf
sin
. (4.1.12)
Формула (12) – суть теоремы В.А. Котельникова,
согласно которой детерминированная функция
(
)
tf ,
имеющая ограниченный спектр, полностью определя-
ется своими дискретными значениями в точках, рас-
положенных на расстоянии
∆
π
22
друг относительно
друга, где
∆ – максимальная частота (циклическая) в
спектре функции
(
)
tf .
Теорема Котельникова может быть распростра-
нена на случайные процессы. Пусть
(
)
tX – непрерыв-
ный и стационарный в широком смысле случайный
процесс, энергетический спектр которого
()
X
F
непрерывный и равный нулю вне полосы частот
∆<ω
. Тогда формула (12) может быть обобщена на
случайные процессы путем замены функции
()
tf на 
4.1. Общие характеристики случайных процессов. Стационарные
                                     и эргодические процессы


                                  πn 
                            sin Ω t − 
             ∞
                      πn             Ω 
f (t ) =   ∑        f                     , Ω≥∆.                   (4.1.11)
           n = −∞     Ω  Ω t − πn 
                                        
                                      Ω
    Выражение (11) представляет интерполяционную
формулу, при помощи которой можно по отсчетам
функции f в дискретные моменты времени с часто-
той 2Ω ≥ 2∆ восстановить точно все значения f (t ) на
оси времени от − ∞ до ∞ .
    При минимально возможной частоте отбора
2Ω = 2∆
                                                       πn 
                                                 sin ∆ t − 
                                  ∞
                                           πn             ∆ 
                     f (t ) =   ∑        f                     .   (4.1.12)
                                n = −∞     ∆  ∆ t − πn 
                                                             
                                                           ∆

    Формула (12) – суть теоремы В.А. Котельникова,
согласно которой детерминированная функция f (t ) ,
имеющая ограниченный спектр, полностью определя-
ется своими дискретными значениями в точках, рас-
положенных на расстоянии 2π 2∆ друг относительно
друга, где ∆ – максимальная частота (циклическая) в
спектре функции f (t ) .
    Теорема Котельникова может быть распростра-
нена на случайные процессы. Пусть X (t ) – непрерыв-
ный и стационарный в широком смысле случайный
процесс, энергетический спектр которого FX (ω)
непрерывный и равный нулю вне полосы частот
 ω < ∆ . Тогда формула (12) может быть обобщена на
случайные процессы путем замены функции f (t ) на
                                                                           83

Страницы