Основы статистических методов в оптике. Короленко П.В - 85 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

4.2. Измерение параметров случайных процессов
85
делах интервала бесконечной длительности, а усред-
нение на интервале конечной продолжительности
приведет к приближенным результатам. Рассмотрим,
насколько точным является это приближение, и от ка-
ких причин зависит его качество?
Сначала рассмотрим задачу оценки математиче-
ского ожидания
X
)
эргодического случайного про-
цесса
(){}
tx путем усреднения по времени на конечном
интервале на основе выражения
()
∫
=
T
dttX
T
X
0
1
)
. (4.2.1)
Необходимо отметить, что
X
)
– случайная вели-
чина, так как мы получили бы другое число, если бы
использовался иной временной интервал или наблю-
далась не такая временная реализация. Таким образом,
X
)
не будет тождественно равно истинному математи-
ческому ожиданию. Вопрос о том, насколько они
близки, требует дополнительного анализа.
Будем исходить из того, что
X
)
– хорошая оценка
X
, если математическое ожидание величины X
)
будет
равно
X , а ее дисперсия окажется малой. В соответст-
вии с (1) математическое ожидание величины
X
)
равно
[]
() ()
[]
()
.
11
11
0
0
00
XtX
T
dttX
T
dttXE
T
dttX
T
EXE
T
T
TT
=
==
==
=
∫
∫∫
)
(4.2.2) 
                4.2. Измерение параметров случайных процессов


делах интервала бесконечной длительности, а усред-
нение на интервале конечной продолжительности
приведет к приближенным результатам. Рассмотрим,
насколько точным является это приближение, и от ка-
ких причин зависит его качество?
    Сначала рассмотрим задачу оценки математиче-
                    )
ского ожидания X эргодического случайного про-
цесса {x(t )} путем усреднения по времени на конечном
интервале на основе выражения
                      ) 1T
                      X = ∫ X (t ) dt .         (4.2.1)
                         T 0
                                  )
    Необходимо отметить, что X – случайная вели-
чина, так как мы получили бы другое число, если бы
использовался иной временной интервал или наблю-
далась не такая временная реализация. Таким образом,
 )
X не будет тождественно равно истинному математи-
ческому ожиданию. Вопрос о том, насколько они
близки, требует дополнительного анализа.
                                   )
    Будем исходить из того, что X – хорошая оценка
                                                   )
X , если математическое ожидание величины X будет
равно X , а ее дисперсия окажется малой. В соответст-
                                                          )
вии с (1) математическое ожидание величины X
равно

           []
            )     1 T         1T
         E X = E  ∫ X (t )dt  = ∫ E [X (t )]dt =
                  T 0         T 0                  (4.2.2)
                      T
                    1             1
                        X (t )dt =  X t  = X .
                                        T
                =     ∫
                    T 0           T  0 
                                    



                                                          85

Страницы