Основы статистических методов в оптике. Короленко П.В - 87 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

4.2. Измерение параметров случайных процессов
87
Видим, что оценка и в этом случае имеет матема-
тическое ожидание, равное его истинному значению.
Для оценки дисперсии случайной величины
X
)
по-
лагают, что анализируемые выборки следуют во вре-
мени на достаточно длительных интервалах и поэтому
статистически независимы. Средний квадрат
X
)
может
быть записан в виде
()
[]
,
1
1
11
2
11
2
2
∑∑
∑∑
==
==
=
=
=
N
i
N
j
ji
N
i
N
j
ji
XXE
N
XX
N
EXE
)
(4.2.5)
где двойное суммирование обусловлено произведе-
нием двух сумм. Так как выборки статистически неза-
висимы, то
[]
()
≠
=
=
.,
,,
2
2
jiX
jiX
XXE
ji
Таким образом, получим
()
(
)
(
)
(
)
[
]
2
222
2
1 XNNXNNXE −+=
)
. (4.2.6)
Этот результат является следствием того, что
двойная сумма в (5) содержит в совокупности
2
N
чле-
нов, но только N из них соответствуют случаю
j
i = .
Уравнение (6) представимо в виде
(
)
() ()
[]
(
)
()
()
.1
111
2
2
2
2
2
XN
XNXNXE
X
+σ=
=−+=
)
(4.2.7) 
              4.2. Измерение параметров случайных процессов


    Видим, что оценка и в этом случае имеет матема-
тическое ожидание, равное его истинному значению.
                                              )
    Для оценки дисперсии случайной величины X по-
лагают, что анализируемые выборки следуют во вре-
мени на достаточно длительных интервалах и поэтому
                                           )
статистически независимы. Средний квадрат X может
быть записан в виде


              
                ()
                 ) 2
                     
                            1 N N       
            E  X  = E  2 ∑∑ X i X j  =
                            N i =1 j =1    (4.2.5)
                                          [       ]
                              N N
                          1
                        = 2 ∑∑ E X i X j ,
                         N i =1 j =1

где двойное суммирование обусловлено произведе-
нием двух сумм. Так как выборки статистически неза-
висимы, то
                              X 2 , i = j ,
                   [       ]
                  E Xi X j =  2
                                ( )
                               X , i ≠ j.

    Таким образом, получим

            ( ) ( )[
             ) 2
                                      (
        E X  = 1 N 2 N X 2 + N 2 − N X
               
                                                      )( ) ].
                                                          2
                                                                (4.2.6)

    Этот результат является следствием того, что
двойная сумма в (5) содержит в совокупности N 2 чле-
нов, но только N из них соответствуют случаю i = j .
Уравнение (6) представимо в виде

             ()
             
               ) 2
          E  X  = (1 N )X 2 + [1 − (1 N )] X =
                   
                                                2
                                                  ( )
                                                   (4.2.7)
                               2
                                   ( )
                   = (1 N )σ X + X .
                                              2




                                                                    87

Страницы