Основы статистических методов в оптике. Короленко П.В - 89 стр.

                          4.3. Корреляционная и структурная функции


где f ( x1 , x2 ) – двумерная плотность распределения
вероятностей.
    Это определение справедливо как для стационар-
ных, так и для нестационарных процессов. Однако для
стационарных процессов выражение (1) можно упро-
стить. Т.к. для него в широком смысле любое усред-
нение по ансамблю не зависит от начала отсчета вре-
мени, и автокорреляционная функция может быть за-
писана в виде
                 RX (t1 , t2 ) = RX (t1 + T , t2 + T ) =
                                                                   (4.3.2)
                              = E [X 1 (t1 + T )X 2 (t2 + T )].

   Поскольку выбор начала отсчета времени произ-
вольный, положив T = −t1 , получаем
R X (t1 , t 2 ) = R X (0, t 2 − t1 ) = E [ X (0)X (t 2 − t1 )] .   (4.3.3)

    Очевидно, что это выражение зависит только от
промежутка времени t 2 − t1 . Вводя обозначение
τ = t 2 − t1 и опуская нуль в аргументе R X (0, t 2 − t1 ) , (1)
перепишем как
                        R X (τ ) = E [X (t1 )X (t1 + τ )] .        (4.3.4)

Это выражение для автокорреляционной функции
стационарного случайного процесса. Оно зависит
только от τ и не зависит от значения t1 , поэтому
индекс в выражении (4) обычно опускают и
рассматриваемую зависимость представляют в виде
R X (τ ) = E [X (t )X (t + τ )] .
     Часто используется временная автокорреляцион-
ная функция для отдельной реализации x(t ) , опреде-
ляемая как


                                                                       89