Основы статистических методов в оптике. Короленко П.В - 90 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Глава IV. Анализ случайных процессов
90
() ()( ) ()( )
τ+=τ+=τℜ
∫
−
∞→
txtxdttxtx
T
T
T
T
x
2
1
lim
. (4.3.5)
Здесь угловые скобки обозначают усреднение по вре-
мени. Для эргодического процесса,
(
)
(
)
τ+txtx
явля-
ется неизменной функцией для любой реализации
()
tx
и равной
()
τ
x
R
, т.е. для эргодического процесса
(
)
(
)
τ
=
τ
ℜ
xx
R
. (4.3.6)
Предположение об эргодичности, если оно не ока-
зывается явно неправомерным, часто упрощает расчет
корреляционных функций.
Из (4) непосредственно следует, что при
0=τ
в
силу
() ()
(
)
[]
11
0 tXtXER
X
= автокорреляционная функ-
ция равна среднему квадрату случайного процесса.
При 0≠τ автокорреляционная функция
(
)
τ
X
R
может
рассматриваться как мера подобия случайных процес-
сов
()
tX и
()
τ+tX . Проиллюстрируем данное утвер-
ждение применительно к выборочной функции цен-
трированного стационарного случайного процесса
()
tX путем введения функции
()
(
)
(
)
τ
+
ρ
−
= tXtXtY . (4.3.7)
Определим такую величину
ρ
, которая минимизи-
рует средний квадрат процесса
(
)
tY . (Это позволит по-
лучить меру подобия случайных процессов
()
τ+tX и
()
tX .) Вычислить ее можно путем расчета дисперсии
случайного процесса
(
)
tY , приравняв производную
дисперсии по
ρ нулю и решив относительно ρ полу-
ченное уравнение: 
Глава IV. Анализ случайных процессов


                    T
                1
ℜ x (τ) = lim       ∫ x(t )x(t + τ)dt = x(t )x(t + τ)      .   (4.3.5)
         T → ∞ 2T
                    −T


Здесь угловые скобки обозначают усреднение по вре-
мени. Для эргодического процесса, x(t ) x(t + τ) явля-
ется неизменной функцией для любой реализации x(t )
и равной R x (τ ) , т.е. для эргодического процесса
                              ℜ x (τ ) = Rx (τ) .              (4.3.6)

      Предположение об эргодичности, если оно не ока-
зывается явно неправомерным, часто упрощает расчет
корреляционных функций.
      Из (4) непосредственно следует, что при τ = 0 в
силу R X (0 ) = E [ X (t1 )X (t1 )] автокорреляционная функ-
ция равна среднему квадрату случайного процесса.
При τ ≠ 0 автокорреляционная функция R X (τ ) может
рассматриваться как мера подобия случайных процес-
сов X (t ) и X (t + τ ) . Проиллюстрируем данное утвер-
ждение применительно к выборочной функции цен-
трированного стационарного случайного процесса
 X (t ) путем введения функции
                         Y (t ) = X (t ) − ρX (t + τ ) .       (4.3.7)

      Определим такую величину ρ , которая минимизи-
рует средний квадрат процесса Y (t ) . (Это позволит по-
лучить меру подобия случайных процессов X (t + τ ) и
 X (t ) .) Вычислить ее можно путем расчета дисперсии
случайного процесса Y (t ) , приравняв производную
дисперсии по ρ нулю и решив относительно ρ полу-
ченное уравнение:


90

Страницы