Основы статистических методов в оптике. Короленко П.В - 88 стр.

Глава IV. Анализ случайных процессов


   Последнее выражение позволяет определить дис-
                                )
персию случайной величины X :
         )
             ()   ) 2
                         ( ) { [ ]}
      D X = E X  − E X =
                    
                            ) 2
                                                     (4.2.8)
           = (1 N )σ X + ( X ) − ( X ) = (1 N )σ X .
                         2    2       2           2



    Видно, что дисперсия оказывается в N раз мень-
ше дисперсии случайного процесса. Тем самым по
мере увеличения протяженности выборки дисперсия
стремится к нулю.

     4.3. Корреляционная и структурная функции
    При статистической обработке измерений случай-
ных величин широко используется понятие корреля-
ционных функций. При анализе сигналов ее аргумен-
том является интервал между двумя случайными
величинами.
    Если эти величины являются выборочными значе-
ниями одного и того же случайного процесса, то ука-
занная функция называется автокорреляционной (или
просто корреляционной) функцией данного процесса,
если же они принадлежат различным случайным про-
цессам – взаимной корреляционной функцией. Сначала
рассмотрим автокорреляционные функции.
    Пусть X (t ) – некоторый случайный процесс, а
случайные величины определяются как
                        X 1 = X (t1 ) , X 2 = X (t 2 ) ,

тогда, по определению, автокорреляционная функция
есть
                                ∞      ∞
R X (t1 , t 2 ) = E [ X 1 X 2 ] = ∫ dx1 ∫ x1 x2 f ( x1 , x2 ) dx2 ,   (4.3.1)
                                −∞     −∞


88