Основы статистических методов в оптике. Короленко П.В - 94 стр.

Глава IV. Анализ случайных процессов


    2. R X (τ ) = R X (− τ ) . Автокорреляционная функция
является четной относительно τ .
    Свойство симметрии очень полезно при вычисле-
нии автокорреляционной функции случайного про-
цесса, поскольку оно означает, что расчеты можно
произвести только для положительных τ , а результат
для отрицательных τ определить на основании этого
свойства. Для нестационарного процесса симметрия
справедлива не всегда.
    3. R X (τ ) ≤ R X (0 ) . Наибольшее значение автокор-
реляционная функция, как правило, принимает при
τ = 0 . Однако в некоторых случаях могут
существовать иные τ , для которых эта функция имеет
такое же значение (например, для периодической
функции X (t ) ), но и для них R X (τ ) не может быть
больше R X (0 ) .
    4. Если X (t ) содержит постоянную составляющую
или имеет ненулевое математическое ожидание, то
функция R X (τ ) также будет иметь постоянную состав-
ляющую. Например, если X (t ) = A , то
                  R X (τ ) = E [X (t1 )X (t1 + τ )] = E [AA] = A 2 .   (4.4.1)

     Предположим теперь, что функция X (t ) представ-
ляет собой сумму ее математического ожидания X и
составляющей N (t ) с нулевым математическим
ожиданием так, что X (t ) = X + N (t ) , тогда
                  [[              ][
RX (τ ) = E X + N (t1 ) X + N (t1 + τ ) =        ]]
=E X [(       ) + X N (t ) + X N (t + τ) + N (t )N (t + τ)] =
              2
                              1        1              1   1            (4.4.2)
  ( ) +R
= X
          2
                   N   (τ),

94