Основы статистических методов в оптике. Короленко П.В - 95 стр.

                   4.4. Свойства автокорреляционных функций


так как по условию E [N (t1 )] = E [N (t1 + τ )] = 0 . Таким
образом, и в этом случае RX (τ) содержит постоянную
составляющую, равную квадрату математического
           ( )
ожидания X процесса X (t ) .
               2


     При рассмотрении эргодического случайного про-
цесса значение математического ожидания может
быть определено по автокорреляционной функции при
τ , стремящемся к бесконечности, и при условии, что
любыми периодическими составляющими автокорре-
ляционной функции в пределе можно пренебречь. По-
скольку в результате таких вычислений получается
только квадрат математического ожидания X , опреде-
ление его знака не представляется возможным.
     5. Если X (t ) – периодический процесс, то R X (τ )
также будет периодической функцией с тем же
периодом.
     Это свойство автокорреляционных функций может
быть распространено на случайные процессы, содер-
жащие любое количество периодических составляю-
щих. Если каждая реализация x(t ) случайного про-
цесса X (t ) является периодической функцией и пред-
ставима рядом Фурье, результирующая автокорреля-
ционная функция также будет периодична и предста-
вима рядом Фурье.
     6. Если X (t ) – центрированный эргодический слу-
чайный процесс, не содержащий периодических со-
ставляющих, то
                       lim R X (τ ) = 0 .            (4.4.3)
                       τ →∞


    При больших τ в силу того, что влияние значений
этого процесса, имевших место в прошлом, уменьша-


                                                         95