Основы статистических методов в оптике. Короленко П.В - 98 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Глава IV. Анализ случайных процессов
98
чает, что обрабатывается оцифрованный сигнал с ин-
тервалом дискретизации, который мы положим рав-
ным
t∆
. Таким образом, если выборки из какой-либо
реализации
(
)
tx случайного процесса
(
)
tX соответст-
вует моментам времени
t Nt t
∆
∆
∆
,2, 0, и если их зна-
чения
()
tx равны
0
x ,
1
x ,
2
x , …,
N
x , то дискретное
представление выражения (1) будет иметь вид
()
.и,1,0 при
,
1
1
0
NMMn
XX
nN
tnR
nk
nN
k
kX
<<=
+−
=∆
+
−
=
∑
K
)
(4.5.2)
Эта приближенная (оценочная) функция по всему ан-
самблю возможных выборок
0
x
,
1
x
,
2
x
, …,
N
x
также
является случайной величиной и обозначается
()
tnR
X
∆
)
. Даже если значение
N
весьма велико
(обычно порядка нескольких тысяч), операцию (2) не-
сложно выполнить с помощью компьютера.
Для оценки качества приближения, задаваемого
формулой (2), необходимо определить математическое
ожидание и дисперсию функции
()
tnR
X
∆
)
, поскольку
она является случайной, а ее точное значение зависит
от конкретной рассматриваемой реализации и соот-
ветствующего ей набора выборок. Математическое
ожидание вычисляется легко, так как
()
[]
() ()
.
1
1
1
1
1
1
0
0
0
tnRtnR
nN
XXE
nN
XX
nN
EtnRE
X
nN
k
X
nN
k
nkk
nN
k
nkkX
∆=∆
+−
=
=
+−
=
=
+−
=
∆
∑
∑
∑
−
=
−
=
+
−
=
+
)
(4.5.3) 
Глава IV. Анализ случайных процессов


чает, что обрабатывается оцифрованный сигнал с ин-
тервалом дискретизации, который мы положим рав-
ным ∆t . Таким образом, если выборки из какой-либо
реализации x(t ) случайного процесса X (t ) соответст-
вует моментам времени 0, ∆t , 2∆t , N∆t и если их зна-
чения x(t ) равны x0 , x1 , x2 , …, xN , то дискретное
представление выражения (1) будет иметь вид
             )              1      N −n
             RX (n∆t ) =           ∑ X k X k +n ,
                         N − n + 1 k =0           (4.5.2)
            при n = 0, 1, K M и M << N .

Эта приближенная (оценочная) функция по всему ан-
самблю возможных выборок x0 , x1 , x2 , …, xN также
является случайной величиной и обозначается
 )
 R X (n∆t ) . Даже если значение N весьма велико
(обычно порядка нескольких тысяч), операцию (2) не-
сложно выполнить с помощью компьютера.
      Для оценки качества приближения, задаваемого
формулой (2), необходимо определить математическое
                                                  )
ожидание и дисперсию функции R X (n∆t ) , поскольку
она является случайной, а ее точное значение зависит
от конкретной рассматриваемой реализации и соот-
ветствующего ей набора выборок. Математическое
ожидание вычисляется легко, так как
      )                  1        N −n
                                                   
 E  R X (n∆t ) = E              ∑    X k X k +n  =
                  N − n + 1 k =0              
                              N −n
                       1
                  =           ∑ E[X k X k + n ] =
                    N − n + 1 k =0
                                                       (4.5.3)
                           N −n
                    1
             =             ∑ RX (n∆t ) =RX (n∆t ).
                 N − n + 1 k =0

98

Страницы