Теория вероятностей. Королева М.П. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГЭУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

В
3
– было три попадания;
В
4
– не было ни одного попадания.
Определим вероятность каждого события. По теоремам умножения и
сложения вероятностей будем иметь
332,0)1)(1()1()1()1)(1()(
3213213211
=−
−
+
−
−
+
−−= pppppppppBP .
468,0)1()1()1()(
3213213212
=
−
+
−
+−= pppppppppBP
.
144,0)(
3213
== pppBP .
056,0)1)(1)(1()(
3214
=
−
−−= pppBP .
Пусть событие А – цель поражена. Выпишем условные вероятности по-
ражения цели при осуществлении каждого из событий В
1
, В
2
, В
3
, и В
4
.
4,0)/(
1
=BAP
,
7,0)/(
2
=
BAP
,
1)/(
3
=
BAP
,
0)/(
4
=BAP
.
Тогда по формуле полной вероятности
6044,0)/()()/()()/()()/()()(
44332211
=
+
+
+= BAPBPBAPBPBAPBPBAPBPAP
Формула Байеса
Вновь рассмотрим полную группу несовместных событий В
1
, В
2
,…В
n
ве-
роятности появления которых
)(
1
BP
,
)(
2
BP
,…,
)(
n
BP
. Событие А может
произойти только вместе с каким-либо из событий В
1
, В
2
,…В
n
, которые будем
называть гипотезами. Тогда по формуле полной вероятности
)/()(...)/()()/()()(
2211 nn
BAPBPBAPBPBAPBPAP
+
+
+
=
.
Если событие А произошло, то это может изменить вероятности гипотез
)(
1
BP
,
)(
2
BP
,…,
)(
n
BP
. По теореме умножения вероятностей
)/()()/()()(
1111
ABPAPBAPBPABP
=
=
,
откуда
)(
)/()(
)/(
11
1
AP
BAPBP
ABP =
.
Аналогично, для остальных гипотез
)(
)/()(
)/(
AP
BAPBP
ABP
ii
i
=
, i=1,2,…,n.
Полученная формула называется формулой Байеса. Здесь Р(А) определяется
формулой полной вероятности.
Примеры. 1. 30% приборов собирает специалист высокой квалификации
и 70% специалист средней квалификации. Надежность работы прибора, соб-
ранного специалистом высокой квалификации, 0,9, надежность прибора, соб-
ранного специалистом средней квалификации, 0,8. Взятый прибор оказался
надежным. Определить вероятность того, что он собран специалистом высо-
кой квалификации.
Событие А – безотказная работа прибора;
В
1
– прибор собран специалистом высокой квалификации;
В
2
– прибор собран специалистом средней квалификации. 
    В3 – было три попадания;
    В4 – не было ни одного попадания.
    Определим вероятность каждого события. По теоремам умножения и
сложения вероятностей будем иметь
     P( B1 ) = p1 (1 − p 2 )(1 − p 3 ) + (1 − p1 ) p 2 (1 − p 3 ) + (1 − p1 )(1 − p 2 ) p 3 = 0,332 .
     P( B2 ) = p1 p 2 (1 − p3 ) + p1 (1 − p 2 ) p3 + (1 − p1 ) p 2 p3 = 0,468 .
     P( B3 ) = p1 p 2 p 3 = 0,144 .
     P( B4 ) = (1 − p1 )(1 − p 2 )(1 − p3 ) = 0,056 .
    Пусть событие А – цель поражена. Выпишем условные вероятности по-
ражения цели при осуществлении каждого из событий В1, В2, В3, и В4.
           P( A / B1 ) = 0,4 , P( A / B2 ) = 0,7 , P( A / B3 ) = 1 , P( A / B4 ) = 0 .
Тогда по формуле полной вероятности
P( A) = P( B1 ) P( A / B1 ) + P( B2 ) P( A / B2 ) + P( B3 ) P( A / B3 ) + P( B4 ) P( A / B4 ) = 0,6044


                                      Формула Байеса

     Вновь рассмотрим полную группу несовместных событий В1, В2,…Вn ве-
роятности появления которых P( B1 ) , P( B2 ) ,…, P( Bn ) . Событие А может
произойти только вместе с каким-либо из событий В1, В2,…Вn, которые будем
называть гипотезами. Тогда по формуле полной вероятности
             P( A) = P ( B1 ) P ( A / B1 ) + P( B2 ) P ( A / B2 ) + ... + P( Bn ) P ( A / Bn ) .
     Если событие А произошло, то это может изменить вероятности гипотез
P( B1 ) , P( B2 ) ,…, P( Bn ) . По теореме умножения вероятностей
                         P( AB1 ) = P( B1 ) P( A / B1 ) = P( A) P ( B1 / A) ,
откуда
                                                   P( B1 ) P( A / B1 )
                                   P( B1 / A) =                         .
                                                          P( A)
     Аналогично, для остальных гипотез
                                           P( Bi ) P ( A / Bi )
                          P( Bi / A) =                          , i=1,2,…,n.
                                                 P ( A)
Полученная формула называется формулой Байеса. Здесь Р(А) определяется
формулой полной вероятности.
     Примеры. 1. 30% приборов собирает специалист высокой квалификации
и 70% специалист средней квалификации. Надежность работы прибора, соб-
ранного специалистом высокой квалификации, 0,9, надежность прибора, соб-
ранного специалистом средней квалификации, 0,8. Взятый прибор оказался
надежным. Определить вероятность того, что он собран специалистом высо-
кой квалификации.
     Событие А – безотказная работа прибора;
     В1 – прибор собран специалистом высокой квалификации;
     В2 – прибор собран специалистом средней квалификации.

Страницы