Теория вероятностей. Королева М.П. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГЭУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

Выпишем вероятности гипотез:
3,0)(
1
=
BP
,
7,0)(
2
=BP
.
Условные вероятности события А: 9,0)/(
1
=
BAP , 8,0)/(
2
=BAP .
Вероятность события А: 83,08,07,09,03,0)(
=
⋅
+
⋅
=
A
P
.
Определим вероятность гипотезы В
1
при условии, что событие А про-
изошло
325,0
83,0
9,03,0
)(
)/()(
)/(
11
1
=
⋅
==
AP
BAPBP
ABP
.
2. Батарея из трех орудий произвела залп, причем два снаряда попали в
цель. Найти вероятность того, что первое орудие попало, если вероятности
попадания в цель каждым из орудий равны р
1
=0,4, р
2
=0,3, р
3
=0,5.
Обозначим события: А – два орудия попали в цель;
В
1
– первое орудие попало в цель;
В
2
– первое орудие не попало в цель.
Вероятности гипотез:
4,0)(
1
=
BP
,
6,01)(
12
=
−
=
pBP
.
Условные вероятности события А:
5,07,05,05,03,0)1()1()/(
32321
=
⋅
+
⋅
=
−
+−= ppppBAP .
15,05,03,0)/(
322
=
⋅== ppBAP .
По формуле Байеса
=
+
==
)/()()/()(
)/()(
)(
)/()(
)/(
2211
1111
1
BAPBPBAPBP
BAPBP
AP
BAPBP
ABP
29
20
15,06,05,04,0
5,04,0
=
⋅+⋅
⋅
=
.
Формула Бернулли
Если производится n независимых испытаний, в каждом из которых ве-
роятность появления события А одна и та же и равна р, то вероятность того,
что событие А появится в этих n испытаниях k раз, выражается формулой
knkk
nn
qpCkP
−
=
)( , где q=1-k.
В частности, отсюда Р
n
(0)=q
n
, Р
n
(1)=npq
n-1
, … , Р
n
(n)=p
n
.
Примеры. 1. В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули 4 шара, при-
чем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующе-
го и шары в урне перемешивают. Найти вероятность того, что из четырех
вынутых шаров окажется 2 белых.
Событие А – достали белый шар. Тогда вероятности
3
2
)( =AP ,
3
1
)( =AP . По формуле Бернулли требуемая вероятность
27
8
3
1
3
2
)2(
22
2
44
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
= CP
. 
    Выпишем вероятности гипотез: P( B1 ) = 0,3 , P( B2 ) = 0,7 .
    Условные вероятности события А: P ( A / B1 ) = 0,9 , P( A / B2 ) = 0,8 .
    Вероятность события А: P( A) = 0,3 ⋅ 0,9 + 0,7 ⋅ 0,8 = 0,83 .
    Определим вероятность гипотезы В1 при условии, что событие А про-
изошло
                                     P( B1 ) P( A / B1 ) 0,3 ⋅ 0,9
                      P( B1 / A) =                        =             = 0,325 .
                                            P( A)              0,83
    2. Батарея из трех орудий произвела залп, причем два снаряда попали в
цель. Найти вероятность того, что первое орудие попало, если вероятности
попадания в цель каждым из орудий равны р1=0,4, р2=0,3, р3=0,5.
    Обозначим события: А – два орудия попали в цель;
    В1 – первое орудие попало в цель;
    В2 – первое орудие не попало в цель.
    Вероятности гипотез: P( B1 ) = 0,4 , P( B2 ) = 1 − p1 = 0,6 .
    Условные вероятности события А:
     P( A / B1 ) = p 2 (1 − p3 ) + (1 − p 2 ) p3 = 0,3 ⋅ 0,5 + 0,5 ⋅ 0,7 = 0,5 .
     P( A / B2 ) = p 2 p 3 = 0,3 ⋅ 0,5 = 0,15 .
    По формуле Байеса
                          P( B1 ) P( A / B1 )                P( B1 ) P ( A / B1 )
          P( B1 / A) =                        =                                              =
                                P( A)           P ( B1 ) P ( A / B1 ) + P( B2 ) P ( A / B2 )
                                             0,4 ⋅ 0,5            20
                                   =                          =       .
                                     0,4 ⋅ 0,5 + 0,6 ⋅ 0,15 29


                                  Формула Бернулли

     Если производится n независимых испытаний, в каждом из которых ве-
роятность появления события А одна и та же и равна р, то вероятность того,
что событие А появится в этих n испытаниях k раз, выражается формулой
                        Pn ( k ) = C nk p k q n − k , где q=1-k.
     В частности, отсюда Рn(0)=qn, Рn(1)=npqn-1, … , Рn(n)=pn.
     Примеры. 1. В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули 4 шара, при-
чем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующе-
го и шары в урне перемешивают. Найти вероятность того, что из четырех
вынутых шаров окажется 2 белых.
                                                                       2
     Событие А – достали белый шар. Тогда вероятности P( A) = ,
                                                                       3
        1
P ( A) = . По формуле Бернулли требуемая вероятность
        3
                                                   2    2
                                        2⎛ 2⎞ ⎛1⎞          8
                          P4 ( 2) = C 4 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =             .
                                          ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3⎠       27

Страницы