Теория вероятностей. Королева М.П. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГЭУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

2. Определить вероятность того, что в семье, имеющей 5 деталей, будет
не больше трех девочек. Вероятности рождения мальчика и девочки предпо-
лагаются одинаковыми.
Вероятность рождения девочки
2
1
=p , тогда
2
1
=q .
Найдем вероятности того, что в семье нет девочек, родилась одна, две
или три девочки:
32
1
)0(
5
5
== qP ,
32
5
)1(
411
55
== qpCP ,
32
10
)2(
322
55
== qpCP ,
32
10
)3(
233
55
== qpCP .
Следовательно, искомая вероятность
16
13
)3()2()1()0(
5555
=+++= PPPPP .
Формула Пуассона
При большом числе испытаний n и малой вероятности р формулой Бер-
нулли пользоваться неудобно, например, 0,95
1000
вычислить трудно. В этом
случае для вычисления вероятности того, что в n испытаниях (n – велико) со-
бытие произойдет k раз используют формулу Пуассона
λ
λ
−
= e
k
kP
k
n
!
)(,
где λ=np=const – среднее число появлений события в n испытаниях.
Примеры. 1. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих неза-
висимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течении вре-
мени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут ровно
три элемента.
N=1000, p=0,002, λ=np=2, k=3.
Искомая вероятность
18,0
2
2
!3
)3(
2
33
1000
===
−
e
eP
λ
λ
.
2. Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изде-
лия в пути 0,004. Найти вероятность того, что в пути повреждено меньше
трех изделий.
n=500, p=0,004, λ=2.
По теореме сложения вероятностей
68,05
!2
4
!1
2
)2()1()0(
2222
500500500
==++=++=
−−−−
eeeePPPP .
3. Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того,
что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найти вероят-
ность того, что магазин получит более двух разбитых бутылок.
λ=np=1000·0,003=3 
    2. Определить вероятность того, что в семье, имеющей 5 деталей, будет
не больше трех девочек. Вероятности рождения мальчика и девочки предпо-
лагаются одинаковыми.
                                                1                   1
    Вероятность рождения девочки p = , тогда q = .
                                                2                   2
    Найдем вероятности того, что в семье нет девочек, родилась одна, две
или три девочки:
                                        1                            5
                     P5 (0) = q 5 =       , P5 (1) = C 51 p 1 q 4 =    ,
                                       32                           32
                                          10                           10
                 P5 ( 2) = C 52 p 2 q 3 =    , P5 (3) = C 53 p 3 q 2 =    .
                                          32                           32
Следовательно, искомая вероятность
                                                                   13
                       P = P5 (0) + P5 (1) + P5 ( 2) + P5 (3) = .
                                                                   16

                               Формула Пуассона

    При большом числе испытаний n и малой вероятности р формулой Бер-
нулли пользоваться неудобно, например, 0,951000 вычислить трудно. В этом
случае для вычисления вероятности того, что в n испытаниях (n – велико) со-
бытие произойдет k раз используют формулу Пуассона
                                                λk
                                   Pn ( k ) =        e −λ ,
                                                  k!
где λ=np=const – среднее число появлений события в n испытаниях.
    Примеры. 1. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих неза-
висимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течении вре-
мени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут ровно
три элемента.
    N=1000, p=0,002, λ=np=2, k=3.
    Искомая вероятность
                                          λ3 − λ 2 3
                             P1000 (3) = e = 2 = 0,18 .
                                           3!        2e
    2. Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изде-
лия в пути 0,004. Найти вероятность того, что в пути повреждено меньше
трех изделий.
    n=500, p=0,004, λ=2.
    По теореме сложения вероятностей
                                                      2      4
         P = P500 (0) + P500 (1) + P500 ( 2) = e −2 + e − 2 + e − 2 = 5e − 2 = 0,68 .
                                                      1!     2!
    3. Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того,
что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найти вероят-
ность того, что магазин получит более двух разбитых бутылок.
    λ=np=1000·0,003=3

Страницы