Теория вероятностей. Королева М.П. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГЭУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

Если случайные события А
1
, А
2
,…, А
n
образуют полную группу несовме-
стных событий, то имеет место равенство
1)(...)()(
21
=
+
+
+
n
APAPAP .
Случайные события А и B называются совместными
, если при данном
испытании могут произойти оба эти события. Событие, заключающееся в со-
вмещении событий А и B, будем обозначать АиВ или АВ.
Теорема. Вероятность суммы совместных событий вычисляется по фор-
муле
)()()()(
A
B
P
B
P
A
P
B
A
P
−
+
=
+
.
Примеры. 1. В урне 10 белых, 15 черных, 20 синих и 25 красных шаров.
Вынули один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар а) синий или
черный; б) белый, черный или синий.
Обозначим следующие события:
Б – вынули белый шар,
70
10
)( =БP ;
Ч – вынули черный шар,
70
15
)( =ЧP ;
С – вынули синий шар,
70
20
)( =CP ;
К – вынули красный шар,
70
25
)( =KP .
Тогда искомые вероятности будут:
а)
2
1
70
15
70
20
)()()( =+=+=+ ЧPCPЧCP .
б)
14
9
70
20
70
15
70
10
)()()()( =++=++=++ CPЧPБPCЧБP
или
14
9
70
25
1)(1)( =−=−=++ KPCЧБP .
2. На стеллаже в библиотеке стоит 15 учебников, причем 5 из них в пе-
реплете. Библиотекарь берет три учебника. Найти вероятность того, что хотя
бы один из взятых учебников окажется в переплете.
Рассмотрим два способа решения задачи.
Первый способ.
Пусть события А – хотя бы один учебник в переплете;
В – один из взятых учебников в переплете, два – без переплета;
С – два в переплете, один без переплета;
D – все три учебника в переплете.
Очевидно, А=В+С+D. Найдем вероятности событий В, С, и D.
91
45
)(
3
15
2
10
1
5
==
C
CC
BP ,
91
20
)(
3
15
1
10
2
5
==
C
CC
CP ,
91
2
)(
3
15
3
5
==
C
C
DP .
Тогда
91
67
)()()()( =++= DPCPBPAP . 
    Если случайные события А1, А2,…, Аn образуют полную группу несовме-
стных событий, то имеет место равенство
                             P( A1 ) + P( A2 ) + ... + P( An ) = 1 .
    Случайные события А и B называются совместными, если при данном
испытании могут произойти оба эти события. Событие, заключающееся в со-
вмещении событий А и B, будем обозначать АиВ или АВ.
    Теорема. Вероятность суммы совместных событий вычисляется по фор-
муле
                              P ( A + B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( AB ) .
    Примеры. 1. В урне 10 белых, 15 черных, 20 синих и 25 красных шаров.
Вынули один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар а) синий или
черный; б) белый, черный или синий.
    Обозначим следующие события:
                                           10
    Б – вынули белый шар, P( Б ) = ;
                                           70
                                              15
    Ч – вынули черный шар, P (Ч ) =               ;
                                              70
                                           20
    С – вынули синий шар, P(C ) =               ;
                                           70
                                               25
    К – вынули красный шар, P ( K ) = .
                                               70
Тогда искомые вероятности будут:
                                   20 15 1
а) P(C + Ч ) = P (C ) + P(Ч ) =       +     = .
                                   70 70 2
                                                  10 15 20 9
б) P( Б + Ч + C ) = P ( Б ) + P(Ч ) + P(C ) =          +    +      =
                                                  70 70 70 14
                                              25 9
   или P( Б + Ч + C ) = 1 − P( K ) = 1 −          = .
                                             70 14
    2. На стеллаже в библиотеке стоит 15 учебников, причем 5 из них в пе-
реплете. Библиотекарь берет три учебника. Найти вероятность того, что хотя
бы один из взятых учебников окажется в переплете.
    Рассмотрим два способа решения задачи.
    Первый способ. Пусть события А – хотя бы один учебник в переплете;
    В – один из взятых учебников в переплете, два – без переплета;
    С – два в переплете, один без переплета;
    D – все три учебника в переплете.
Очевидно, А=В+С+D. Найдем вероятности событий В, С, и D.
                  C 51C102   45               C 52 C101    20             C 53 2
         P( B ) =          = , P (C ) =                  =    , P( D ) = 3 = .
                   C153
                             91                  C153
                                                           91             C15 91
Тогда
                                                                67
                           P( A) = P( B ) + P (C ) + P( D ) =        .
                                                                 91

Страницы