Высшая математика для менеджеров. Корсакова Л.Г. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

6
ном случае данная система векторов называется линейно независимой, то
есть указанное равенство возможно лишь в случае, когда все λ
1
= λ
2
= ... =
= λ
m
= 0.
Геометрический смысл линейной зависимости векторов в R
3
, ин-
терпретируемых как направленные отрезки, поясняют следующие теоре-
мы.
Теорема 1. Система, состоящая из одного вектора, линейно зависима
тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой.
Теорема 2. Для того, чтобы два вектора были линейно зависимы, необ-
ходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарны.
Теорема 3. Для того, чтобы три вектора были
линейно зависимы, необ-
ходимо и достаточно, чтобы они были компланарны.
Тройка некомпланарных векторов a, b, c называется правой, если на-
блюдателю из их общего начала обход концов векторов a, b, c в указанном
порядке кажется совершающимся по часовой стрелке. B противном случае
a, b, c - левая тройка. Все правые (или левые) тройки векторов называются
одинаково ориентированными.
Тройка
e
1,
e
2
,
e
3
некомпланарных векторов в R
3
называется базисом, а
сами векторы e
1,
e
2
,
e
3
- базисными. Любой вектор a может быть единствен-
ным образом разложен по базисным векторам, то есть представлен в виде
а = x
1
e
1
+ x
2
e
2
+ x
3
e
3,
(1.1)
числа x
1
, x
2
, x
3
в разложении (1.1) называются координатами вектора a в
базисе e
1,
e
2
,
e
3
и обозначаются a(x
1
, x
2
, x
3
). Если векторы e
1,
e
2
,
e
3
попарно
перпендикулярны и длина каждого из них равна единице, то базис называ-
ется ортонормированным, а координаты x
1
, x
2
, x
3
- прямоугольными. Ба-
зисные векторы ортонормированного базиса будем обозначать i, j, k.
Будем предполагать, что в пространстве R
3
выбрана правая система де-
картовых прямоугольных координат {0, i, j, k}.
Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор c,
который определяется следующими тремя условиями:
1. Длина вектора c численно равна площади параллелограмма, постро-
енного на векторах a и b, т. е. ⎢c ⎢ = ⎢a ⎢ ⎢b ⎢sin (a^b).
2. Вектор c перпендикулярен к
каждому из векторов a и b.
3. Векторы a, b и c, взятые в указанном порядке, образуют правую
тройку.
Для векторного произведения c вводится обозначение c = [ab] или
c = a× b.
Если векторы a и b коллинеарны, то sin(a^b) = 0 и [ab] = 0, в частности,
[aa] = 0. Векторные произведения ортов: [ij] = k, [jk] = i, [ki
] = j. 
ном случае данная система векторов называется линейно независимой, то
есть указанное равенство возможно лишь в случае, когда все λ1 = λ2 = ... =
= λm = 0. Геометрический смысл линейной зависимости векторов в R3, ин-
терпретируемых как направленные отрезки, поясняют следующие теоре-
мы.
    Теорема 1. Система, состоящая из одного вектора, линейно зависима
тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой.
    Теорема 2. Для того, чтобы два вектора были линейно зависимы, необ-
ходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарны.
    Теорема 3. Для того, чтобы три вектора были линейно зависимы, необ-
ходимо и достаточно, чтобы они были компланарны.
    Тройка некомпланарных векторов a, b, c называется правой, если на-
блюдателю из их общего начала обход концов векторов a, b, c в указанном
порядке кажется совершающимся по часовой стрелке. B противном случае
a, b, c - левая тройка. Все правые (или левые) тройки векторов называются
одинаково ориентированными.
    Тройка e1, e2, e3 некомпланарных векторов в R3 называется базисом, а
сами векторы e1, e2, e3 - базисными. Любой вектор a может быть единствен-
ным образом разложен по базисным векторам, то есть представлен в виде
                         а = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3,                       (1.1)
числа x1, x2, x3 в разложении (1.1) называются координатами вектора a в
базисе e1, e2, e3 и обозначаются a(x1, x2, x3). Если векторы e1, e2, e3 попарно
перпендикулярны и длина каждого из них равна единице, то базис называ-
ется ортонормированным, а координаты x1, x2, x3 - прямоугольными. Ба-
зисные векторы ортонормированного базиса будем обозначать i, j, k.
    Будем предполагать, что в пространстве R3 выбрана правая система де-
картовых прямоугольных координат {0, i, j, k}.
    Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор c,
который определяется следующими тремя условиями:
    1. Длина вектора c численно равна площади параллелограмма, постро-
енного на векторах a и b, т. е. ⎢c ⎢ = ⎢a ⎢ ⎢b ⎢sin (a^b).
    2. Вектор c перпендикулярен к каждому из векторов a и b.
    3. Векторы a, b и c, взятые в указанном порядке, образуют правую
тройку.
    Для векторного произведения c вводится обозначение c = [ab] или
c = a× b.
    Если векторы a и b коллинеарны, то sin(a^b) = 0 и [ab] = 0, в частности,
[aa] = 0. Векторные произведения ортов: [ij] = k, [jk] = i, [ki] = j.



6

Страницы