Высшая математика для менеджеров. Корсакова Л.Г. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

8
h = (ab /a
2
) a - b.
Пример 1.2. Найдите угол между векторами a = 2m+4n и b = m-n, где
m и n - единичные векторы и угол между m и n равен 120
о
.
Решение. Имеем: cos ϕ = ab/ab, ab = (2m+4n) (m-n) = 2 m
2
- 4n
2
+2mn =
= 2 - 4+2cos120
o
= - 2 + 2(-0.5) = -3; a = a
2
; a
2
= (2m+4n) (2m+4n) =
= 4 m
2
+16mn+16 n
2
= 4+16(-0.5)+16=12, значит a = 12 . b = b
2
; b
2
=
= (m-n)(m-n) = m
2
-2mn+ n
2
= 1-2(-0.5)+1 = 3, значит b = 3 . Окончательно
имеем: cos ϕ =
−
⋅
3
12 3
= -1/2, ⇒ ϕ = 120
o
.
Пример 1.3. Зная векторы AB(-3,-2,6) и BC(-2,4,4),вычислите длину
высоты AD треугольника ABC.
Решение. Обозначая площадь треугольника ABC через S, получим:
S = 1/2 BC AD. Тогда AD=2S/BC, BC=
BC
2
=
()−++244
222
= 6,
S = 1/2 ⎜AB ×AC⎜. AC=AB+BC, значит, вектор AC имеет координаты
AC(-5,2,10). AB×AC =
i j k
-3 - 2 6
-5 2 10
= i (-20 -12) - j (30 -30) + k (- 6 - 10) =
= -16(2⎯i +⎯k ). ⎜AB×AC⎜ =
16 2 1
22
()+ = 16
5
; S = 8
5
, откуда
AD =
16 5
6
=
85
3
.
Пример 1.4. Даны два вектора a(11,10,2) и b(4,0,3). Найдите единич-
ный вектор c, ортогональный векторам a и b и направленный так, чтобы
упорядоченная тройка векторов a, b, c была правой.
Решение. Обозначим координаты вектора c относительно данного пра-
вого ортонормированного базиса через x, y, z.
Поскольку c ⊥ a, c ⊥ b, то ca = 0, cb = 0. По условию задачи требуется,
чтобы
c = 1 и a b c >0.
Имеем систему уравнений для нахождения x,y,z: 11x +10y + 2z = 0,
4x+3z=0, x
2
+
y
2
+ z
2
= 0.
Из первого и второго уравнений системы получим z = -4/3 x, y = -5/6 x.
Подставляя y и z в третье уравнение, будем иметь: x
2
= 36/125, откуда
x = ±
6
55
. Используя условие a b c >0, получим неравенство
11 10 2
4 0 3
x y z
> 0 или 5(6x-5y-8z) > 0. 
                                         h = (ab /a2) a - b.
   Пример 1.2. Найдите угол между векторами a = 2m+4n и b = m-n, где
m и n - единичные векторы и угол между m и n равен 120о.
   Решение. Имеем: cos ϕ = ab/ab, ab = (2m+4n) (m-n) = 2 m2 - 4n2 +2mn =
                                                    2
= 2 - 4+2cos120o = - 2 + 2(-0.5) = -3; a = a ; a2 = (2m+4n) (2m+4n) =
                                                                             2
= 4 m2 +16mn+16 n2 = 4+16(-0.5)+16=12, значит a = 12 . b = b ; b2 =
= (m-n)(m-n) = m2 -2mn+ n2 = 1-2(-0.5)+1 = 3, значит b = 3 . Окончательно
                   −3
имеем: cos ϕ =              = -1/2, ⇒ ϕ = 120o.
                   12 ⋅ 3
   Пример 1.3. Зная векторы AB(-3,-2,6) и BC(-2,4,4),вычислите длину
высоты AD треугольника ABC.
   Решение. Обозначая площадь треугольника ABC через S, получим:
                                                        2
S = 1/2 BC AD. Тогда AD=2S/BC, BC= BC = ( −2) 2 + 4 2 + 4 2 = 6,
S = 1/2 ⎜AB ×AC⎜. AC=AB+BC, значит, вектор AC имеет координаты
                      i                j    k
AC(-5,2,10). AB×AC = -3               -2   6 = i (-20 -12) - j (30 -30) + k (- 6 - 10) =
                     -5                2   10

= -16(2⎯i +⎯k ). ⎜AB×AC⎜ = 16 2 (2 2 + 1) = 16 5 ; S = 8 5 , откуда
       16 5 8 5
AD =       =    .
         6   3
   Пример 1.4. Даны два вектора a(11,10,2) и b(4,0,3). Найдите единич-
ный вектор c, ортогональный векторам a и b и направленный так, чтобы
упорядоченная тройка векторов a, b, c была правой.
   Решение. Обозначим координаты вектора c относительно данного пра-
вого ортонормированного базиса через x, y, z.
   Поскольку c ⊥ a, c ⊥ b, то ca = 0, cb = 0. По условию задачи требуется,
чтобы c = 1 и a b c >0.
   Имеем систему уравнений для нахождения x,y,z: 11x +10y + 2z = 0,
4x+3z=0, x2 + y2 + z2 = 0.
   Из первого и второго уравнений системы получим z = -4/3 x, y = -5/6 x.
Подставляя y и z в третье уравнение, будем иметь: x2 = 36/125, откуда
        6
x=±          . Используя условие a b c >0, получим неравенство
       5 5
                            11   10    2
                            4    0     3 > 0 или 5(6x-5y-8z) > 0.
                            x    y     z



8

Страницы