Высшая математика для менеджеров. Корсакова Л.Г. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

7
Если векторы a и b заданы в базисе i, j, k координатами a(a
1
, a
2
, a
3
),
b(b
1
, b
2
, b
3
), то
[ab] =
i j k
a a a
b b b
123
123
=⎯i (a
2
b
3
- a
3
b
2
) - ⎯j (a
1
b
3
- a
3
b
1
) + ⎯k (a
1
b
2
- a
2
b
1
).
Если векторное произведение двух векторов а и b скалярно умножается
на третий вектор c, то такое произведение трех векторов называется сме-
шанным произведением и обозначается символом a b c.
Если векторы a, b и c в базисе i, j, k заданы своими координатами
a(a
1
, a
2
, a
3
), b(b
1
, b
2
, b
3
), c(c
1
, c
2
, c
3
), то
abc =
a a a
b b b
c c c
123
12
3
12 3
.
Смешанное произведение имеет простое геометрическое толкование -
это скаляр, по абсолютной величине равный объему параллелепипеда, по-
строенного на трех данных векторах.
Если векторы образуют правую тройку, то их смешанное произведение
есть число положительное, равное указанному объему; если же тройка
a, b, c - левая, то a b c<0 и V = - a b c, следовательно V = ⎢a b c ⎢.
Координаты векторов, встречающиеся
в задачах первой главы, предпо-
лагаются заданными относительно правого ортонормированного базиса.
Единичный вектор, сонаправленный вектору а, обозначается символом а
о
.
Символом r=ОМ обозначается радиус-вектор точки М, символами а, АВ
или ⎢а ⎢, ⎢АВ ⎢ обозначаются модули векторов а и АВ.
Пример 1.1. Зная векторы a и b, на которых построен параллелограмм,
выразить через них вектор, совпадающий с высотой параллелограмма,
перпендикулярной к стороне a.
Решение. Обозначим AB=a, AC=b, CD
=h, где CD⊥a, D-основание пер-
C
b h
D a
А B
Рис. 1.
пендикуляра, опущенного из
точки C на сторону a. По прави-
лу сложения векторов имеем:
b + h = AD, h = AD - b. По-
скольку AD ⎜⎜a, то AD = λ a.
Найдем значение λ, исполь-
зуя ортогональность векторов
a и h: ah=0 или a(λ a-b)=0, отку-
да λ = ab /a
2
. Следовательно, 
   Если векторы a и b заданы в базисе i, j, k координатами a(a1, a2, a3),
b(b1, b2, b3), то
             i    j    k
     [ab] = a 1   a2   a 3 =⎯i (a2b3 - a3b2) - ⎯j (a1b3 - a3b1) + ⎯k (a1b2 - a2b1).
             b1   b2   b3

    Если векторное произведение двух векторов а и b скалярно умножается
на третий вектор c, то такое произведение трех векторов называется сме-
шанным произведением и обозначается символом a b c.
    Если векторы a, b и c в базисе i, j, k заданы своими координатами
a(a1, a2, a3), b(b1, b2, b3), c(c1, c2, c3), то
                                      a1     a2    a3
                              abc = b 1      b2    b3 .
                                      c1    c2      c3

    Смешанное произведение имеет простое геометрическое толкование -
это скаляр, по абсолютной величине равный объему параллелепипеда, по-
строенного на трех данных векторах.
    Если векторы образуют правую тройку, то их смешанное произведение
есть число положительное, равное указанному объему; если же тройка
a, b, c - левая, то a b c<0 и V = - a b c, следовательно V = ⎢a b c ⎢.
    Координаты векторов, встречающиеся в задачах первой главы, предпо-
лагаются заданными относительно правого ортонормированного базиса.
Единичный вектор, сонаправленный вектору а, обозначается символом ао.
Символом r=ОМ обозначается радиус-вектор точки М, символами а, АВ
или ⎢а ⎢, ⎢АВ ⎢ обозначаются модули векторов а и АВ.
    Пример 1.1. Зная векторы a и b, на которых построен параллелограмм,
выразить через них вектор, совпадающий с высотой параллелограмма,
перпендикулярной к стороне a.
    Решение. Обозначим AB=a, AC=b, CD=h, где CD⊥a, D-основание пер-
          C                                    пендикуляра, опущенного из
                                               точки C на сторону a. По прави-
                                               лу сложения векторов имеем:
     b      h                                   b + h = AD, h = AD - b. По-
                                               скольку AD ⎜⎜a, то AD = λ a.
                                                   Найдем значение λ, исполь-
             D       a
                                               зуя ортогональность векторов
А                              B
                                               a и h: ah=0 или a(λ a-b)=0, отку-
                    Рис. 1.                    да λ = ab /a2. Следовательно,

                                                                                      7

Страницы