Введение в анализ. Предел последовательности - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

функций является заданная функция. С этой целью решим две задачи.
Пример 11. Пусть f(x) = sin x, ϕ(x) =
√
x. Составить суперпозиции f ◦ ϕ
и ϕ ◦ f.
Прежде всего заметим, что D(f) = R, E(f) = [−1, 1], D(ϕ) = [0, +∞) и
E(ϕ) = [0, +∞). Так как E(ϕ) ⊂ D(f), то любому x ∈ D(ϕ) = [0, +∞)
можно поставить в соответствие z = f(ϕ(x)) = sin(
√
x) ∈ [−1, 1]. Поэтому
суперпозиция f ◦ ϕ определена на D(ϕ) = [0, +∞) и f ◦ ϕ(x) = sin(
√
x).
- -ϕ
 
x
s
ϕ(x)
0
q
0
s
- -fq
x −1 1
f(x)
 
Так как E(f) не содержится в множестве D(ϕ), то функция ϕ ◦f не опре-
делена. Но E(f) ∩D(ϕ) = [0, 1], прообразом отрезка [0, 1] при отображении f
является множество X = {x ∈ R | f(x) ∈ [0, 1]} =
= {x ∈ R | sin x ∈ [0, 1]} = {x ∈ [2πn; π + 2πn] | n ∈ Z}.
Поэтому, множество значений функции f|
X
совпадает с отрезком [0, 1] ⊂
[0, +∞) = D(ϕ) и на X можно определить функцию, которая каждому x ∈ X
ставит в соответствие число ϕ(f|
X
(x)), то есть функцию ϕ ◦ f|
X
. Сокращая
запись, вместо функции f|
X
часто пишут f, а потому вместо ϕ ◦ f|
X
пишут
ϕ ◦ f : X −→ R, (ϕ ◦f)(x) =
√
sin x.
Пример 12. Суперпозицией каких функций является функция
a) y = sin
3
x, b) y = log
1/2
cos x?
a) Ясно, что функция y = sin
3
x определена на R. Чтобы найти значение
этой функции на элементе x ∈ R, следует выполнить следующие действия:
∀x ∈ R
ϕ
−→ z = sin x(∈ [−1, 1])
g
−→ z
3
= sin
3
x.
Поэтому sin
3
x = g ◦ ϕ(x), ∀x ∈ R, где ϕ(x) = sin x, g(z) = z
3
.
b) Функция y = log
1/2
cos x определена на множестве
X = {x ∈ R | cos x > 0} = {x ∈ (−π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)| k ∈ Z},
и для нахождения значения этой функции в точке x ∈ X выполняем после-
довательно следующие операции:
∀x ∈ X
ϕ
−→ z = cos x ∈ (0, 1]
g
−→ log
1/2
z = log
1/2
cos x.
Итак, на множестве X функция y = log
1/2
cos x является суперпозицией функ-
ций ϕ(x) = cos x, g(z) = log
1/2
z, то есть log
1/2
cos x = (g ◦ ϕ)(x), ∀x ∈ X.
13

Страницы