Введение в анализ. Предел последовательности - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

Аналогично, областью определения функции y = g(x) является множество
D(g) = {x ∈ R | 2 − x − x
2
> 0} = (−2, 1). Поскольку областью определения
суммы функций является D(ϕ) ∩ D(g), то
D(y) = D(ϕ) ∩D(g) = (−∞, 0] ∩ (−2, 1) = (−2, 0].
c) Из определения логарифма следует, что функция y = log
cos x
sin x опре-
делена на множестве тех действительных чисел, для которых
cos x > 0,
sin x > 0,
cos x 6= 1,
то есть
cos x ∈ (0, 1),
sin x > 0.
(3)
Функции y = sin x и y = cos x являются 2π-периодическими. Выделим те
точки x ∈ [0, 2π], для которых выполняются условия (3). Известно, что
cos x ∈ (0, 1) ⇐⇒ x ∈
0,
π
2
[
3π
2
, 2π
; sin x > 0 ⇐⇒ x ∈ (0, π).
Таким образом, на отрезке [0, 2π] условия (3) выполняются в точках интер-
вала
0,
π
2
!
, а потому
D(y) =
(
x ∈
2πn,
π
2
+ 2πn
!
: n ∈ Z
)
.
Пример 10. Найти множество значений функции y =
√
2 + x − x
2
, если
a) x ∈ D(y), b) x ∈ [−1, 0].
a) Прежде всего заметим, что D(y) = {x ∈ R | 2 + x − x
2
≥ 0} = [−1, 2].
Поскольку
y =
√
2 + x − x
2
⇐⇒
y
2
= 2 + x −x
2
y ≥ 0
⇐⇒
x −
1
2
!
2
+ y
2
=
9
4
y ≥ 0
,
то графиком функции y =
√
2 + x − x
2
является полуокружность окружно-
сти
x −
1
2
!
2
+ y
2
=
9
4
, лежащая в верхней полуплоскости. Наименьшим
значением функции является y = 0, которое совпадает с y(−1) и y(2), а наи-
большим — y =
3
2
= y
1
2
!
. Следовательно, E(y) ⊂ [0, 3/2]. Докажем, что
E(y) ⊃ [0, 3/2], то есть каждое y
0
∈ [0, 3/2] является значением функции y(x)
в некоторой точке x
0
∈ [0, 3/2]. Пусть y
0
∈ [0, 3/2]. Решим уравнение
√
2 + x − x
2
= y
0
, (4)
11

Страницы