Введение в анализ. Предел последовательности - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

Итак, 2 + x − x
2
= y
2
0
, x
2
− x + (y
2
0
− 2) = 0, Так как дискриминант D =
9 − 4y
2
0
≥ 0, то x =
1 ±
q
9 − 4y
2
0
2
. Наконец, 0 ≤ 4y
2
0
≤ 9 для y
0
∈ [0, 3/2], а,
значит,
1
2
=
1 +
s
9 − 4 ·
9
4
2
≤
1 +
q
9 − 4 y
2
0
2
≤
1 +
√
9 − 0
2
= 2.
Поэтому для любого y
0
∈ [0, 3/2] существует точка
x
0
=
1 +
q
9 − 4y
2
0
2
∈ [1/2, 2] ⊂ [−1, 2]
такая, что y(x
0
) = y
0
или
q
2 + x
0
− x
2
0
= y
0
. Последнее означает, что [0, 3/2] ⊂
E(y) и E(y) = [0, 3/2].
b) Найдем множество значений функции y =
√
2 + x − x
2
, принимаемых
на отрезке [−1, 0]. Известно, что функция y = 2 + x − x
2
возрастает на луче
(−∞, 1/2], а значит и на отрезке [−1, 0]. Поэтому, учитывая свойства ариф-
метического корня, рассматриваемая функция y =
√
2 + x − x
2
возрастает на
[−1, 0]. Далее, y(−1) = 0, y(0) =
√
2. Следовательно, E(y) ⊂ [y(−1), y(0)] =
[0,
√
2], то есть y([−1, 0]) ⊂ [0,
√
2]. Используя решение задачи a), заме-
чаем, что для любого y
0
∈ [0,
√
2] одним из корней уравнения (4) явля-
ется x
1
=
1 −
q
9 − 4 y
2
0
2
. Докажем, что x
1
∈ [−1, 0]. Действительно, если
0 ≤ y
0
≤
√
2, то 1 = 9 − 8 ≤ 9 + 4(−y
2
0
) ≤ 9, то есть
1 ≤
q
9 − 4y
2
0
≤ 3, −1 ≤
1 −
q
9 − 4y
2
0
2
≤ 0.
Итак, для любого y
0
∈ [0,
√
2] существует точка x
1
=
1 −
q
9 − 4 y
2
0
2
∈ [−1, 0]
такая, что
q
2 + x
1
− x
2
1
= y
0
. Последнее означает, что y
0
— значение функции
y =
√
2 + x − x
2
в точке x
1
∈ [−1, 0], а, значит, y([−1, 0]) ⊃ [0,
√
2]. Следова-
тельно, y([−1, 0]) = [0,
√
2].
1.5 Суперпозиция функций
Определение 1. Пусть f : X −→ Y, ϕ : Y −→ R. Функция, которая
каждому числу x ∈ X ставит в соответствие единственное число y =
ϕ(f(x)), называется суперпозицией функций f и ϕ и обозначается ϕ ◦ f.
В этом разделе выясним не только, как составить суперпозицию данных
функций f и ϕ, и всегда ли она существует, но и суперпозицией каких
12

Страницы