ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
1.6 Ограниченные и неограниченные функции
Напомним только некоторые основные определения (см. [3, раздел 1.6]).
Определение 2. Функция f : D(f) → R называется ограниченной свер-
ху на множестве X ⊂ D(f), если существует A ∈ R такое, что f(x) ≤ A,
∀x ∈ X. В противном случае функция f называется неограниченной свер-
ху на X.
Символически эти определения записываются так:
f ограничена сверху на X ⊂ D(f) ⇐⇒ ∃A ∈ R : f(x) ≤ A, ∀x ∈ X.
f не ограничена сверху на X ⊂ D(f) ⇐⇒ ∀A ∈ R ∃x ∈ X : f(x) > A.
6
-
y = f(x)
A
0
X
y
x
6
-
y = f(x)
A
0
X x
y
Геометрически ограниченность сверху функции f на множестве X означа-
ет, что существует такая прямая y = A, что точки графика функции y = f(x )
при x ∈ X лежат не выше этой прямой, а неограниченность сверху функции
y = f(x) на множестве X означает, что для любой прямой y = A, A ∈ R,
найдется такая точка x ∈ X, что соответствующая точка (x, f(x)) графика
лежит выше прямой y = A.
Определение 3. Функция f : D(f) → R называется ограниченной
снизу на множестве X ⊂ D(f), если существует такое число A, что
f(x) ≥ A, ∀x ∈ X. В противном случае функция f называется неограни-
ченной снизу на множестве X. Если функция ограничена сверху и снизу
на множестве X, то она называется ограниченной на множестве X.
Символически последняя часть определения записывается в виде:
f ограничена на X ⇐⇒ ∃A ∈ R, ∃B ∈ R : B ≤ f(x) ≤ A, ∀x ∈ X.
Пример 13. Доказать ограниченность функций в их естественной области
определения:
a) f(x) = 5 cos x + 2 sin 3x, b) g(x) =
x
2
+ 6
x
2
+ 1
.
14
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- …
- следующая ›
- последняя »
