Введение в анализ. Предел последовательности - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

см. [3, следствие 1 из принципа Архимеда, стр. 20]). В качестве искомого x
M
можно взять любую точку x =
π
2
+ 2πn, где n > [M] + 1.
Пример 15. Является ли ограниченной функция f(x) = x −
√
x
2
− 1 на
множествах a) X = [1, +∞), b) X = (−∞, −1].
a) Поскольку x ≥ 1, то функция f является разностью положительной и
неотрицательной функций. Преобразуем ее
f(x) =
(x −
√
x
2
− 1)(x +
√
x
2
− 1)
x +
√
x
2
− 1
=
1
x +
√
x
2
− 1
.
Так как x +
√
x
2
− 1 ≥ 1, ∀x ≥ 1, то f(x) ≤ 1, ∀x ∈ [1, +∞). Кроме того,
f(x) > 0, ∀x ∈ X. Следовательно, функция f ограничена на луче x ≥ 1.
b) Если x ≤ −1, то f(x) = x−
√
x
2
− 1 ≤ −1. Поэтому исследуемая функция
ограничена сверху на (−∞, −1]. Докажем, что она неограничена снизу на
(−∞, −1]. Заметим, что
√
x
2
− 1 ≤ x, ∀x ≤ 1. Поэтому для любого M < −1
f(x) ≤ x < M, ∀x ∈ (−∞, M) ⊂ (−∞, −1],
что означает неограниченность снизу функции f на луче (−∞, −1].
1.7 Обратная функция
Предположим, что функция f : X ⊂ D(f) → Y биективна (см. [3, раздел
1.3.1]). Геометрически свойство биективности означает, что любая прямая y =
c, где c ∈ Y , пересекает график функции {(x, f(x)) | x ∈ X} в единственной
точке. Известно, что если функция f возрастает (или убывает) на множестве
X, то она биективно действует из X в f(X) (см. [3, раздел 1.5.2]). Напомним
(см. [3, раздел 1.5.2]) следующее определение.
Определение 4. Пусть функция f : X → Y биективна. Функция, ко-
торая каждому элементу y ∈ Y ставит в соответствие такое x ∈ X,
что f(x) = y, называется обратной к f и обозначается f
−1
.
Пример 16. Показать, что функция f(x) =
x − 1
x + 1
имеет обратную, и найти
ее.
Очевидно, что D(f) = R\{−1}. Поскольку f(x) = 1 −
2
x + 1
, то ее графи-
ком является гипербола, полученная из графика функции y = −
2
x
смещением
вдоль оси OX влево на 1 и вдоль оси OY вверх на 1. Таким образом, мно-
жество значений функции — множество R\{1}. Функция f возрастает на
16

Страницы