Введение в анализ. Предел последовательности - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

луче x < −1 и f((−∞, −1)) = (1, +∞). На луче x > −1 функция f также
возрастает и f((−1, +∞)) = (−∞, 1).
Поэтому f((−∞, −1))
T
f((−1, +∞)) = ∅. Отсюда следует, что функ-
ция f биективно отображает R\{1} на R\{1}.
Следовательно, она имеет обратную функцию.
Для нахождения обратной функции при каж-
дом y ∈ R\{1} решим относительно x уравнение
1 −
2
x + 1
= y, и найдем, что x =
y + 1
1 − y
. Поэто-
му f
−1
(y) =
y + 1
1 − y
. Если же обратную функцию
представить в виде y = f
−1
(x), то получим, что
6
-
y
x
−1 10
1
f
−1
(x) =
x + 1
1 − x
, x ∈ R \ {1}.
Пример 17. Выяснить, имеет ли функция y = x
2
− 4x + 2 обратную на
множествах a) X = R, b) X = (−∞, 2]. В случае существования обратной
функции найти ее.
Прежде всего заметим, что графиком данной функции является парабола
(ее вершина в точке (2, −2), ветви направлены вверх). Ясно, что f(R) =
[−2, +∞), f((−∞, 2]) = [−2, +∞).
a) Функция f : R → [−2, +∞) не является инъективной, поскольку f(2 +
√
2) = f(2 −
√
2) = 0. Поэтому она не имеет обратной функции.
b) Функция f : (−∞, 2] → [−2, +∞) биективна (функция убывает на
(−∞, 2]) и f((−∞, 2]) = (−2, +∞]. Поэтому она имеет обратную. Для на-
хождения обратной функции решим на [−∞, 2] уравнение x
2
− 4x + 2 = y
для каждого y ∈ [−2, +∞). Его корнями являются x = 2 ±
√
y + 2. Так
как x = 2 −
√
y − 2 ∈ (−∞, 2], а x = 2 +
√
y − 2 /∈ (−∞, 2], то функция
y = 2 −
√
x − 2, определенная на [−2, +∞), является обратной к заданной.
1.8 Задания для самостоятельной работы
1. Указать область определения функции:
a) y = log
2
(x
3
− 2x), b) y = lg sin
π
x
,
c) y = arcsin
2x
1 + x
, d) y = arccos(2 sin x),
e) y =
q
sin
√
x, f) y =
s
log
1/2
x
x
2
− 1
.
2. Указать множество значений функции на указанных множествах:
17

Страницы