Введение в анализ. Предел последовательности - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

множеством значений. В этом случае используют короткое обозначение y =
f(x), а слово "естественная" опускают и говорят об области определения
функции.
Пример 9. Указать естественную область определения функции:
a) y =
1
x + |x|
, b) y =
√
−x +
5
√
2 − x − x
2
, c) y = log
cos x
sin x.
a) Функция y =
1
x + |x|
, является отношением функций y = 1 и
y = x + |x|. Последняя является суммой функций g(x) = x и ϕ(x) = |x|,
определеных на множестве R. Поэтому сумма функций g + ϕ определена на
R, а исходная функция определена на множестве тех действительных чисел,
на которых функция y = x + |x| отлична от нуля, то есть
D(y) = {x ∈ R | x + |x| 6= 0}.
Найдем корни уравнения x + |x| = 0. Имеем: |x| = −x. Учитывая свойства
модуля числа, заключаем, что −x ≥ 0, то есть x ≤ 0. Следовательно,
D(y) = R\{x ∈ R : x ≤ 0} = (0, +∞).
На интервале (0, +∞) функция y(x) имеет представление y =
1
2x
. Заме-
тим, что функция y = f(x), где f(x) =
1
2x
определена на множестве R \ {0}. Значит
y(x) = f|
(0,+∞)
(x), то есть исходная функ-
ция является сужением функции y = f(x)
на луч (0, +∞) (см. [3, раздел 1.3.3]). По-
этому графиком функции y =
1
x + |x|
явля-
ется часть гиперболы y =
1
2x
, которая соот-
ветствует x > 0.
6
-
y
x
y =
1
x+|x|
b) Функция y =
√
−x +
5
√
2 − x − x
2
является суммой функций ϕ(x) =
√
−x и g(x) =
5
√
2 − x − x
2
. Найдем множества D(ϕ) и D(g). По определе-
нию арифметического корня четной степени
D(ϕ) = {x ∈ R| − x ≥ 0} = (−∞, 0].
10

Страницы