Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений методами типа Рунге-Кутта. Часть 1. Корзунина В.В - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

10
()
32101
4
6
1
KKKyy +++=
, (30)
() ()
210031002001
2,,
2
1
,
2
1
,, KKyhxhfKKyhxhfKyxhfK +−+=
++== .
Еще один пример метода )
3
2
,
3
1
(
32
== αα :
()
3101
3
4
1
KKyy ++= , (31)
()
++=
++==
20031002001
3
2
,
3
2
,
3
1
,
3
1
,, KyhxhfKKyhxhfKyxhfK
.
1.5. Методы четвертого порядка точности (четырехчленные
формулы , q=4)
В этом случае формулы типа Рунге - Кутта содержат 13 неизвестных
параметров; условия, обеспечивающие четвертый порядок точности метода на
шаге , дают 11 нелинейных уравнений. Подробные сведения о четырехчленных
семействах формул можно найти в книге [1]. Ниже мы приводим три наиболее
часто употребляемые формулы.
1. Стандартная формула Рунге - Кутта четвертого порядка
()
432101
22
6
1
KKKKyy ++++= (32)
()
,
2
,
2
,
2
,
2
,,
2
003
1
002001
++=
++==
K
y
h
xhfK
K
y
h
xhfKyxhfK
(
)
,,
3004
KyhxhfK
+
+
=
2. Формула трех восьмых
()
432101
33
8
1
KKKKyy ++++= , (33)
()
,
3
1
,
3
1
,,
1002001
++== KyhxhfKyxhfK
()
32100421003
,,
3
1
,
3
2
KKKyhxhfKKKyhxhfK +−++=
+−+=
.
3.
()
43101
4
6
1
KKKyy +++=
, (34) 
                                                         10
                 1
       y1 = y 0 + (K 1 +4 K 2 +K 3 ) ,                                                             (30)
                 6
                                    �    1        1 �
      K 1 =hf (x0 , y 0 ), K 2 =hf � x0 + h, y 0 + K 1 � , K 3 =hf (x 0 +h, y 0 −K 1 +2 K 2 ) .
                                      �  2        2 �

Еще один пример метода (α 2 = 13 , α 3 =2 3 ) :

                    1
       y1 = y 0 +     (K1 +3K 3 ),                                                                 (31)
                    4

                                    �    1        1 �               �    2        2     �
      K 1 =hf (x0 , y 0 ), K 2 =hf � x0 + h, y 0 + K 1 � , K 3 =hf � x0 + h, y 0 + K 2 � .
                                      �  3        3 �                 �  3        3       �



           1.5. Методы          четвертого          порядка         точности            (четырехчленные
              формулы, q=4)
      В этом случае формулы типа Рунге-Кутта содержат 13 неизвестных
параметров; условия, обеспечивающие четвертый порядок точности метода на
шаге, дают 11 нелинейных уравнений. Подробные сведения о четырехчленных
семействах формул можно найти в книге [1]. Ниже мы приводим три наиболее
часто употребляемые формулы.
      1. Стандартная формула Рунге-Кутта четвертого порядка
                 1
       y1 = y 0 + (K 1 +2 K 2 +2 K 3 +K 4 )                                                        (32)
                 6

                                    �    h       K �             �     h       K �
      K 1 =hf (x0 , y 0 ), K 2 =hf � x0 + , y 0 + 1 � , K 3 =hf � x 0 + , y 0 + 2 � ,
                                      �  2       2 �               �   2       2 �

      K 4 =hf (x 0 +h, y 0 +K 3 ),

      2. Формула трех восьмых
                 1
       y1 = y 0 + (K1 +3K 2 +3K 3 +K 4 ),                                                          (33)
                 8

                                    �     1        1 �
      K 1 =hf (x0 , y 0 ), K 2 =hf � x 0 + h, y 0 + K1 � ,
                                      �   3        3 �

               �    2        1         �
      K 3 =hf � x0 + h, y 0 − K1 +K 2 � , K 4 =hf (x0 +h, y 0 +K 1 −K 2 +K 3 ).
                 �  3        3           �
      3.
                 1
       y1 = y 0 + (K 1 +4 K 3 +K 4 ) ,                                                             (34)
                 6

Страницы