Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений методами типа Рунге-Кутта. Часть 1. Корзунина В.В - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

11
()
,
4
,
4
,,
1
002001
++==
K
y
h
xhfKyxhfK
()
321004
2
003
2,,
2
,
2
KKKyhxhfK
K
y
h
xhfK +−++=
++= .
1.6. Методы порядка выше четвертого
Для формул типа Рунге - Кутта степени больше четырех показано , что они
требуют N-кратного вычисления правой части , где N больше степени. Эти
формулы имеют громоздкие коэффициенты, и мы отправляем читателя к книгам
[2,3].
1.7. Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений
методами типа Рунге-Кутта
Методы Рунге - Кутта без труда переносятся на решение задач Коши для
систем обыкновенных дифференциальных уравнений размерности
M
=
∈=
′
,)(
],[),,(
00
yxy
BAxyxfy
(35)
где
(
)
Τ
=
M
yyyy ,...,,
21
,
(
)
(
)
(
)
Τ
=
MMM
yyxfyyxff ,...,,,...,,...,,
111
,
(
)
Τ
=
M
yyyy
0
2
0
1
00
,...,, .
Формулы Рунге - Кутта записываются в векторном виде
)(...)()(
_
2
_
2
1
_
101
hKphKphKpyy
q
qqqq
++++= , (36)
где
()
.)(...)(,)(
...
,)(,)(
,,)(
1
_
1,
1
_
100
_
1
_
21020
2
_
00
1
_
++++=
++=
=
−
−
hKhKyhxfhhK
hKyhxfhhK
yxfhhK
q
qqqq
q
ββα
βα
В качестве примера рассмотрим систему двух дифференциальных
уравнений 
                                                                         11
                                            �     h       K �
              K 1 =hf (x0 , y 0 ), K 2 =hf � x 0 + , y 0 + 1 � ,
                                              �   4       4 �

                       �    h       K        �
              K 3 =hf � x0 + , y 0 + 2       � , K 4 =hf (x0 +h, y 0 +K 1 −2 K 2 +K 3 ) .
                         �  2       2        �



                  1.6. Методы порядка выше четвертого
          Для формул типа Рунге-Кутта степени больше четырех показано, что они
требуют N -кратного вычисления правой части, где N больше степени. Эти
формулы имеют громоздкие коэффициенты, и мы отправляем читателя к книгам
[2,3].


                  1.7. Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений
                      методами типа Рунге-Кутта
          Методы Рунге-Кутта без труда переносятся на решение задач Коши для
систем обыкновенных дифференциальных уравнений размерности M
          � y ′ = f ( x, y ), x ∈[ A, B]
          �                                                                                                                    (35)
          � y ( x0 ) = y 0 ,

где y =(y 1 , y 2 ,..., y M ) , f =( f 1 (x, y 1 ,..., y M ),..., f M (x, y 1 ,..., y M )) , y 0 =(y 10 , y02 ,..., y 0M ) .
                               Τ                                                           Τ                             Τ



          Формулы Рунге-Кутта записываются в векторном виде
                                _                   _                         _
              y1 =y 0 + pq1 K (h) + p q 2 K 2 (h) +... + p qq K q (h) ,                                                        (36)
                                    1

где
              _
          K 1 ( h) =hf (x0 , y0 ),
           _
                        �                   _
                                                     �
          K 2 ( h) =hf � x0 +α 2 h, y0 +β21 K 1 (h) � ,
                          �                            �
          ...
           _
                            �               _                       _
                                                                                �
          K q ( h) =hf � x0 +α q h, y0 +βq1 K 1 ( h) +... +βq ,q −1 K q −1 (h) � .
                              �                                                   �
          В качестве примера рассмотрим систему двух дифференциальных
уравнений

Страницы