Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений методами типа Рунге-Кутта. Часть 1. Корзунина В.В - 13 стр.

                                                              13
      2. Двухсторонние явные методы Рунге-Кутта
      Как и в обычных, односторонних методах Рунге-Кутта, в двухсторонних
методах приближенное решение в узле x0 +h будем искать в виде (4),(5).
Относительно главной части погрешности на шаге ϕ q (h) сделаем дополнительное
предположение. А именно, будем считать, что главная часть погрешности может
быть представлена в виде γh s +1 Ψ[ f ]0 , где γ – некоторый параметр, Ψ[ f ]0 – вполне
определенный оператор, зависящий от функции f и вычисленный в точке ( x0 , y0 ) .
Нас будет интересовать ситуация, когда допустимая область значений параметра
γ содержит пары значений, отличающихся только знаком. Тогда формулы Рунге-

Кутта (4),(5) для двух равных по величине и противоположных по знаку значений
параметра γ (γ ≠0) будут давать верхнее и нижнее приближения к искомому
решению. Такие формулы будем называть формулами двухстороннего метода
Рунге-Кутта. Полученные приближенные решения будем обозначать y1+, y1− .
Соответствующие этим приближенным решениям локальные погрешности на
шаге равны
      ϕ q+(h) =+γh s +1 Ψ[ f ]0 +o(h s +1 )
                                                                                           (39)
      ϕ q−(h) =−γh s +1 Ψ[ f ]0 +o(h s +1 ).

      Итак, коэффициенты α i , βij , p qi                   в двухсторонних методах Рунге-Кутта
выбираются так, чтобы погрешность метода имела максимально возможный
порядок по h при условии, что главная часть погрешности имеет множителем
числовой параметр, могущий принимать значения, равные по величине и
противоположные по знаку. Очевидно, что вычислив значения y1+, y1− , можно в
качестве приближенного решения взять их среднее арифметическое

      y10 =
              2
               (
              1 +
                y1 +y1− ,    )                                                             (40)

погрешность которого на порядок выше погрешностей y1+, y1− :

      y q0 (h) =
                   2
                     (
                   1 +
                      y q ( h) +y q−( h) ) =o( h s +1 ) .                                  (41)