Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений методами типа Рунге-Кутта. Часть 1. Корзунина В.В - 14 стр.

                                                           14
         2.1. Двучленные двухсторонние методы Рунге-Кутта
      Рассмотрим двухчленную формулу (11). Если существует двухсторонний
метод Рунге-Кутта второго порядка с двучленной формулой, то третья
производная погрешности ϕ 2′′′(h) в точке h =0 должна иметь в качестве множителя
числовой параметр для любой функции f ( x, y ) . Это невозможно, поскольку в
выражении (16) для ϕ 2′′′(0) последнее слагаемое не имеет числового множителя.
Следовательно, двучленного двухстороннего метода Рунге-Кутта второго порядка
не существует. Покажем, что можно построить двучленные двухсторонние
методы первого порядка. В этом случае мы полагаем, что ϕ2′ (0) =0 , ϕ 2′′ (0) ≠0 . Из
выражения (13) следует, что равенство нулю первой производной погрешности в
точке h =0 сводится к условию
      1 −p 21 −p 22 =0 ,                                                                           (42)
а пропорциональность ϕ 2′′ (0) числовому параметру γ с учетом представления (14)
– к равенствам
      1 −2α 2 p 22 =2γ
                                                                                                   (43)
      1 −2 β21 p 22 =2γ.

      Очевидно, что система уравнений (38),(39) относительно неизвестных
α 2 , β21 , p 21 , p 22 , γ имеет двухпараметрическое семейство решений. В самом деле,

выразим p 22 ,α 2 , β21 через значения параметров p 21 , γ :
                                  1 −2γ                             1 −2γ
       p 22 =1 − p 21 , α 2 =                (при p 21 ≠1), β21 =              .                   (44)
                                2(1 − p 21 )                      2(1 − p 21 )

      Таким        образом,            соотношения              (44)     при       p 21 ≠1   определяют
двухпараметрическое семейство двухсторонних формул Рунге-Кутта первого
порядка.
Замечание 1. Случай              p 21 =1 не представляет интереса. В самом деле, из

                 уравнения (42) тогда следует, что p 22 =0 , а уравнения (43) дают

                 единственное решение для числового множителя γ (γ = 1 2) .

Замечание 2. Если потребовать выполнения естественного условия 0 ≤α 2 ≤1 , то
                 решение (44) накладывает ограничения на выбор параметра γ :